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On considère la fonction définie par
a) Donnez le domaine de f.
b) Calculez f ' et analysez son signe.
c) Calculez f " et montrez que f " s'annule dans ]2,e[.
d) Spécifiez les extrema et les points d'inflexion éventuels.
e) Calculez
Déterminez ensuite:
f) Esquissez le graphe de f.
Résolution a) domaine de définition: b) dérivée: Calculons la dérivée de f: Les racines de chacun des facteurs sont: Réalisons le tableau de signe de la dérivée: c) Dérivée seconde Calculons la dérivée seconde de la fonction: Montrons que f " s'annule dans ]2,e[: En effet f " est une fonction continue dans l'intervalle [2,e] et Par conséquent, il existe un rée x dans ]2,e[ tel que f "(x) = 0. d) Extrema et points d'inflexion éventuels En observant le tableau du signe de la dérivée, nous constatons que celle-ci est négative sur les réels strictement positifs et par conséquent, que la fonction est décroissante sur cet ensemble. La fonction n'admet donc pas d'extremum. Nous avons vu au point précédent que la dérivée seconde s'annule dans l'intervalle ]2,e[ avec changement de signe, par conséquent, le graphe de la fonction admet un point d'inflexion dont l'abscisse est dans cet intervalle. Pour vérifier si la fonction admet d'autres points d'inflexion, nous devons étudier le signe de f '' et pour cela calculer ses racines: Il n'y a pas de méthode algébrique pour résoudre cette équation. Nous allons employer une méthode graphique pour trouver une valeur approchée des solutions. L'équation à résoudre est: Nous allons représenter les deux fonctions auxiliaires définies par Ensuite, nous déterminerons graphiquement les abscisses des points d'intersection des deux graphes, solutions de l'équation à résoudre. Pour représenter la fonctions g, calculons les limites aux bornes du domaine et les racines: De la première limite, nous déduisons que la fonction g admet l'axe des ordonnées comme asymptote verticale. Le graphe de g coupe l'axe X aux points d'abscisses 1 et 2. Il nous reste à calculer quelques points pour représenter la fonction g (en rouge). Pour représenter la fonction h, remarquons qu'elle peut s'écrire sous la forme: Cette fonction homographique (en bleu) admet l'axe Y comme asymptote verticale et la droite d'équation y=1 comme asymptote horizontale. On peut observer que les graphes admettent deux points d'intersection, le premier d'abscisse 1 et le deuxième est celui dans l'intervalle ]2,e[. Par conséquent, le graphe de f admet deux points d'inflexion car la dérivée seconde s'annule en ces deux abscisses en changeant de signe. Le premier point d'inflexion a pour coordonnée: Une valeur approchée du deuxième point d'inflexion est 2,6 et une valeur approchée de son image par f est 0,36. Le deuxième point d'inflexion a donc pour coordonnée: e) Calcul de limites Pour lever l'indétermination, transformons le produit en un quotient puis appliquons le théorème de l'Hospital: Pour lever l'indétermination, transformons le produit en un quotient puis appliquons le théorème de l'Hospital: Appliquons à nouveau le théorème de l'Hospital pour lever cette nouvelle indétermination: Procédons comme pour la limite ci-dessus: Calculons séparément les deux limites. Nous avons: et par conséquent: Pour calculer la deuxième limite, nous appliquons à nouveau le théorème de l'Hospital (car nous avons une indétermination): En conclusion: f) Représentation graphique de la fonction Rappels de cours concernant cette question: Domaine de définition d'une fonction Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des réels x en lesquels la fonction est définie c'est-à-dire l'ensemble des réels x qui ont une image par la fonction. Méthode: écrire la ou les conditions d’existence de l’expression et les résoudre. L ’ensemble des solutions est le domaine de définition de la fonction La fonction exponentielle népérienne définition où e est le nombre de Neper représentation graphique domaine de définition signe limites aux bornes du domaine dérivée propriété La fonction exponentielle népérienne est la réciproque de la fonction logarithme népérien: Quelques rappels au sujet de la fonction logarithme népérien Domaine de définition : R0+ Limite aux bornes du domaine: Racine Dérivée: Propriétés: Représentation graphique Extremum d'une fonction (maximum ou minimum), croissance et décroissance Si la fonction dérivée de f est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, alors la fonction est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur cet intervalle. Les changements de signe de la dérivée indiquent l'existence d'un extremum (minimum ou maximum) Méthode : - calculer la fonction dérivée de f (voir formules des dérivées) - rechercher les racines des facteurs composant f' puis établir son tableau de signe - en déduire les intervalles où f est croissante, décroissante ainsi que les extrema Concavité et points d'inflexion On sait que si la fonction dérivée seconde d'une fonction est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, le graphe de la fonction tourne sa concavité vers le haut (respectivement vers le bas) sur cet intervalle. Méthode : - calculer la fonction dérivée seconde de la fonction (dériver la fonction dérivée au moyen des formules) - rechercher les racines des facteurs composant f'' et établir son tableau de signe - en déduire le sens de la concavité du graphe de la fonction et les points d'inflexion Calcul des limites en l'infini Remplacer la variable x par ce réel ou l'infini en respectant les règles suivantes (sauf les cas d'indétermination qu'il faut traiter par la méthode adéquate): - additionner l'infini à un réel donne l'infini avec conservation de son signe - additionner l'infini avec l'infini de même signe donne l'infini doté de ce signe - additionner l'infini avec l'infini de signe contraire est un cas d'indétermination (rappelons aussi que soustraire, c'est ajouter l'opposé) - multiplier l'infini par un réel non nul donne l'infini : le signe est déterminé par la règle des signes - multiplier l'infini par l'infini donne l'infini : le signe est déterminé par la règle des signes - multiplier l'infini par 0 est un cas d'indétermination - diviser un réel par l'infini donne 0 - diviser l'infini par l'infini est un cas d'indétermination La limite en l'infini d'une fraction de polynômes est égale à la limite en l'infini du quotient des termes de plus haut degré de ces deux polynômes. Théorème de l'Hospital (énoncé simplifié) dans les cas: ou : Propriété d'une fonction continue dans un intervalle fermé Si f est une fonction continue dans l'intervalle fermé [a,b], alors l'image de cet intervalle fermé est un intervalle fermé [m,M] Illustration Conséquence Si f est une fonction continue dans [a,b] et que f(a) et f(b) sont de signes contraires, alors f admet au moins une racine c dans l'intervalle [a,b]. Illustration Formules des dérivées employées dans cette question A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip Cette question résolue (référence : Q98) Le formulaire des dérivées dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions. Les fiches de cours en rapport avec cette question: Dérivée d'une fonction (référence : F4) définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction) Recherche du domaine de définition d'une fonction (référence F7) définition, lecture du domaine de définition sur un graphique, méthode de recherche du domaine de définition d'une fonction donnée par son expression analytique, liste des conditions d'existence d'une expression. Comment étudier le signe d'une expression? (référence F10) Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas. Limite d'une fonction en un réel ou en l'infini (référence F11) Limite en un réel: cas d'une fraction dont le numérateur s'annule et pas le numérateur, cas 0/0 dans le cas d'une fraction de polynômes et dans le cas d'une fraction avec des racines carrées. Limite en l'infini: opérations avec l'infini, limite en l'infini d'un polynôme, d'une fraction de polynômes, d'une fraction contenant des racines carrées, cas "infini - infini" avec des racines carrées. Règle de l'Hospital: conditions et conseils d'application, astuces pour transformer un cas "0.infini" ou "infini - infini" afin d'appliquer l'Hospital. Exemples détaillés de tous ces cas. Asymptotes du graphe d'une fonction (référence F12) Méthodes pour trouver les asymptotes verticales horizontales et obliques au graphe d'une fonction, et étudier la position du graphe par rapport à celles-ci. Exemples variés et détaillés de ces méthodes et illustrations graphiques. 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a) domaine de définition:
b) dérivée:
Calculons la dérivée de f:
Les racines de chacun des facteurs sont:
Réalisons le tableau de signe de la dérivée:
c) Dérivée seconde
Calculons la dérivée seconde de la fonction:
Montrons que f " s'annule dans ]2,e[:
En effet f " est une fonction continue dans l'intervalle [2,e] et
Par conséquent, il existe un rée x dans ]2,e[ tel que f "(x) = 0.
d) Extrema et points d'inflexion éventuels
En observant le tableau du signe de la dérivée, nous constatons que celle-ci est négative sur les réels strictement positifs et par conséquent, que la fonction est décroissante sur cet ensemble. La fonction n'admet donc pas d'extremum.
Nous avons vu au point précédent que la dérivée seconde s'annule dans l'intervalle ]2,e[ avec changement de signe, par conséquent, le graphe de la fonction admet un point d'inflexion dont l'abscisse est dans cet intervalle.
Pour vérifier si la fonction admet d'autres points d'inflexion, nous devons étudier le signe de f '' et pour cela calculer ses racines:
Il n'y a pas de méthode algébrique pour résoudre cette équation. Nous allons employer une méthode graphique pour trouver une valeur approchée des solutions. L'équation à résoudre est:
Nous allons représenter les deux fonctions auxiliaires définies par
Ensuite, nous déterminerons graphiquement les abscisses des points d'intersection des deux graphes, solutions de l'équation à résoudre.
Pour représenter la fonctions g, calculons les limites aux bornes du domaine et les racines:
De la première limite, nous déduisons que la fonction g admet l'axe des ordonnées comme asymptote verticale.
Le graphe de g coupe l'axe X aux points d'abscisses 1 et 2. Il nous reste à calculer quelques points pour représenter la fonction g (en rouge).
Pour représenter la fonction h, remarquons qu'elle peut s'écrire sous la forme:
Cette fonction homographique (en bleu) admet l'axe Y comme asymptote verticale et la droite d'équation y=1 comme asymptote horizontale.
On peut observer que les graphes admettent deux points d'intersection, le premier d'abscisse 1 et le deuxième est celui dans l'intervalle ]2,e[. Par conséquent, le graphe de f admet deux points d'inflexion car la dérivée seconde s'annule en ces deux abscisses en changeant de signe.
Le premier point d'inflexion a pour coordonnée:
Une valeur approchée du deuxième point d'inflexion est 2,6 et une valeur approchée de son image par f est 0,36. Le deuxième point d'inflexion a donc pour coordonnée:
e) Calcul de limites
Pour lever l'indétermination, transformons le produit en un quotient puis appliquons le théorème de l'Hospital:
Appliquons à nouveau le théorème de l'Hospital pour lever cette nouvelle indétermination:
Procédons comme pour la limite ci-dessus:
Calculons séparément les deux limites. Nous avons:
et par conséquent:
Pour calculer la deuxième limite, nous appliquons à nouveau le théorème de l'Hospital (car nous avons une indétermination):
En conclusion:
f) Représentation graphique de la fonction
Domaine de définition d'une fonction
Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des réels x en lesquels la fonction est définie c'est-à-dire l'ensemble des réels x qui ont une image par la fonction.
Méthode: écrire la ou les conditions d’existence de l’expression et les résoudre. L ’ensemble des solutions est le domaine de définition de la fonction
La fonction exponentielle népérienne
définition
où e est le nombre de Neper
représentation graphique
domaine de définition
signe
limites aux bornes du domaine
dérivée
propriété
La fonction exponentielle népérienne est la réciproque de la fonction logarithme népérien:
Quelques rappels au sujet de la fonction logarithme népérien
Domaine de définition : R0+
Limite aux bornes du domaine:
Racine
Dérivée:
Propriétés:
Représentation graphique
Extremum d'une fonction (maximum ou minimum), croissance et décroissance
Si la fonction dérivée de f est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, alors la fonction est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur cet intervalle. Les changements de signe de la dérivée indiquent l'existence d'un extremum (minimum ou maximum)
Méthode :
- calculer la fonction dérivée de f (voir formules des dérivées)
- rechercher les racines des facteurs composant f' puis établir son tableau de signe
- en déduire les intervalles où f est croissante, décroissante ainsi que les extrema
Concavité et points d'inflexion
On sait que si la fonction dérivée seconde d'une fonction est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, le graphe de la fonction tourne sa concavité vers le haut (respectivement vers le bas) sur cet intervalle.
- calculer la fonction dérivée seconde de la fonction (dériver la fonction dérivée au moyen des formules)
- rechercher les racines des facteurs composant f'' et établir son tableau de signe
- en déduire le sens de la concavité du graphe de la fonction et les points d'inflexion
Calcul des limites en l'infini
Remplacer la variable x par ce réel ou l'infini en respectant les règles suivantes (sauf les cas d'indétermination qu'il faut traiter par la méthode adéquate): - additionner l'infini à un réel donne l'infini avec conservation de son signe - additionner l'infini avec l'infini de même signe donne l'infini doté de ce signe - additionner l'infini avec l'infini de signe contraire est un cas d'indétermination (rappelons aussi que soustraire, c'est ajouter l'opposé) - multiplier l'infini par un réel non nul donne l'infini : le signe est déterminé par la règle des signes - multiplier l'infini par l'infini donne l'infini : le signe est déterminé par la règle des signes - multiplier l'infini par 0 est un cas d'indétermination - diviser un réel par l'infini donne 0 - diviser l'infini par l'infini est un cas d'indétermination
La limite en l'infini d'une fraction de polynômes est égale à la limite en l'infini du quotient des termes de plus haut degré de ces deux polynômes.
Théorème de l'Hospital
(énoncé simplifié)
ou
Propriété d'une fonction continue dans un intervalle fermé
Si f est une fonction continue dans l'intervalle fermé [a,b], alors l'image de cet intervalle fermé est un intervalle fermé [m,M]
Illustration
Conséquence
Si f est une fonction continue dans [a,b] et que f(a) et f(b) sont de signes contraires, alors f admet au moins une racine c dans l'intervalle [a,b].
Formules des dérivées employées dans cette question
A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette question résolue (référence : Q98) Le formulaire des dérivées dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions. Les fiches de cours en rapport avec cette question: Dérivée d'une fonction (référence : F4) définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction) Recherche du domaine de définition d'une fonction (référence F7) définition, lecture du domaine de définition sur un graphique, méthode de recherche du domaine de définition d'une fonction donnée par son expression analytique, liste des conditions d'existence d'une expression. Comment étudier le signe d'une expression? (référence F10) Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas. Limite d'une fonction en un réel ou en l'infini (référence F11) Limite en un réel: cas d'une fraction dont le numérateur s'annule et pas le numérateur, cas 0/0 dans le cas d'une fraction de polynômes et dans le cas d'une fraction avec des racines carrées. Limite en l'infini: opérations avec l'infini, limite en l'infini d'un polynôme, d'une fraction de polynômes, d'une fraction contenant des racines carrées, cas "infini - infini" avec des racines carrées. Règle de l'Hospital: conditions et conseils d'application, astuces pour transformer un cas "0.infini" ou "infini - infini" afin d'appliquer l'Hospital. Exemples détaillés de tous ces cas. Asymptotes du graphe d'une fonction (référence F12) Méthodes pour trouver les asymptotes verticales horizontales et obliques au graphe d'une fonction, et étudier la position du graphe par rapport à celles-ci. Exemples variés et détaillés de ces méthodes et illustrations graphiques.
Cette question résolue (référence : Q98)
Le formulaire des dérivées dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions.
Les fiches de cours en rapport avec cette question:
Dérivée d'une fonction (référence : F4) définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction) Recherche du domaine de définition d'une fonction (référence F7) définition, lecture du domaine de définition sur un graphique, méthode de recherche du domaine de définition d'une fonction donnée par son expression analytique, liste des conditions d'existence d'une expression. Comment étudier le signe d'une expression? (référence F10) Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas. Limite d'une fonction en un réel ou en l'infini (référence F11) Limite en un réel: cas d'une fraction dont le numérateur s'annule et pas le numérateur, cas 0/0 dans le cas d'une fraction de polynômes et dans le cas d'une fraction avec des racines carrées. Limite en l'infini: opérations avec l'infini, limite en l'infini d'un polynôme, d'une fraction de polynômes, d'une fraction contenant des racines carrées, cas "infini - infini" avec des racines carrées. Règle de l'Hospital: conditions et conseils d'application, astuces pour transformer un cas "0.infini" ou "infini - infini" afin d'appliquer l'Hospital. Exemples détaillés de tous ces cas. Asymptotes du graphe d'une fonction (référence F12) Méthodes pour trouver les asymptotes verticales horizontales et obliques au graphe d'une fonction, et étudier la position du graphe par rapport à celles-ci. Exemples variés et détaillés de ces méthodes et illustrations graphiques.
Dérivée d'une fonction (référence : F4) définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction)
Recherche du domaine de définition d'une fonction (référence F7) définition, lecture du domaine de définition sur un graphique, méthode de recherche du domaine de définition d'une fonction donnée par son expression analytique, liste des conditions d'existence d'une expression.
Comment étudier le signe d'une expression? (référence F10) Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas.
Limite d'une fonction en un réel ou en l'infini (référence F11) Limite en un réel: cas d'une fraction dont le numérateur s'annule et pas le numérateur, cas 0/0 dans le cas d'une fraction de polynômes et dans le cas d'une fraction avec des racines carrées. Limite en l'infini: opérations avec l'infini, limite en l'infini d'un polynôme, d'une fraction de polynômes, d'une fraction contenant des racines carrées, cas "infini - infini" avec des racines carrées. Règle de l'Hospital: conditions et conseils d'application, astuces pour transformer un cas "0.infini" ou "infini - infini" afin d'appliquer l'Hospital. Exemples détaillés de tous ces cas.
Asymptotes du graphe d'une fonction (référence F12) Méthodes pour trouver les asymptotes verticales horizontales et obliques au graphe d'une fonction, et étudier la position du graphe par rapport à celles-ci. Exemples variés et détaillés de ces méthodes et illustrations graphiques.
Cours de soutien scolaire
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