Calcul d'une limite et de deux intégrales indéfinies

Examen d'admission Université Catholique de Louvain (Belgique)- Analyse – Question 1 (Juillet 1999)

Enoncé:

a) Calculez la limite suivante:

b) Calculez:

c) Calculez:

Résolution:

Nous observons préalablement que l'expression est strictement positive pour des valeurs de x dont la valeur absolue est suffisamment grande. En effet, voici le tableau de signe de cette expression:

Ceci nous permet de transformer l'expression en utilisant les fonctions logarithmes et exponentielles népériennes:

Calculons la limite de l'exposant:

Ceci étant un cas d'indétermination, nous transformons le produit en un quotient:

Nous obtenons ainsi une indétermination du type , nous pouvons donc appliquer le théorème de l'Hospital:

Nous en déduisons la limite demandée:

La fonction à intégrer étant une fraction rationnelle dont le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur, nous effectuons d'abord la division euclidienne:

Nous obtenons donc:

Remarquons que la valeur absolue dans la réponse n'est pas nécessaire vu que a>0.

Utilisons la formule de trigonométrie:

Nous en déduisons:

Nous utilisons maintenant la formule de trigonométrie:

Nous obtenons:

L'intégrale à calculer devient donc:

Nous allons maintenant effectuer la substitution suivante:

et donc:

Rappels de cours concernant cette question:

Transformation d'un réel strictement positif sous forme d'une puissance

Calcul des limites en l'infini

Remplacer la variable x par l'infini en respectant les règles suivantes (sauf les cas d'indétermination qu'il faut traiter par la méthode adéquate):
- additionner l'infini à un réel donne l'infini avec conservation de son signe
- additionner l'infini avec l'infini de même signe donne l'infini doté de ce signe
- additionner l'infini avec l'infini de signe contraire est un cas d'indétermination
(rappelons aussi que soustraire, c'est ajouter l'opposé)
- multiplier l'infini par un réel non nul donne l'infini : le signe est déterminé par la règle des signes
- multiplier l'infini par l'infini donne l'infini : le signe est déterminé par la règle des signes
- multiplier l'infini par 0 est un cas d'indétermination
- diviser un réel par l'infini donne 0
- diviser l'infini par l'infini est un cas d'indétermination

La limite en l'infini d'une fraction de polynômes est égale à la limite en l'infini du quotient des termes de plus haut degré de ces deux polynômes.

Théorème de l'Hospital

(énoncé simplifié)

dans les cas:

Intégration par substitution

Pour calculer

on peut poser:

avec

Formules des dérivées employées dans cette question

Formules des primitives employées dans cette question

A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q97)

Le formulaire des dérivées
dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions.

Le formulaire des primitives
primitives des fonctions de base et de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions - formules de l'intégration par parties - intégration par changement de variable.

Le formulaire de trigonométrie
formules fondamentales - formules d'addition - formules de duplication (angle double) - formules de Carnot - formules de Simpson - formules de factorisation - transformation de a.cos(x)+b.sin(x)+c

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Dérivée d'une fonction
(référence : F4)
définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction)

Limite d'une fonction en un réel ou en l'infini
(référence F11)
Limite en un réel: cas d'une fraction dont le numérateur s'annule et pas le numérateur, cas 0/0 dans le cas d'une fraction de polynômes et dans le cas d'une fraction avec des racines carrées. Limite en l'infini: opérations avec l'infini, limite en l'infini d'un polynôme, d'une fraction de polynômes, d'une fraction contenant des racines carrées, cas "infini - infini" avec des racines carrées. Règle de l'Hospital: conditions et conseils d'application, astuces pour transformer un cas "0.infini" ou "infini - infini" afin d'appliquer l'Hospital. Exemples détaillés de tous ces cas.

Maîtriser le calcul intégral pas à pas
(référence F13)
Intégration immédiate, formules et leurs utilisations, comment transformer astucieusement une expression afin de l'intégrer, intégration par parties, intégration par substitution, liste de substitutions utiles, quelles formules employer pour intégrer les fonctions trigonométriques, intégration des fractions de polynômes, décomposition en fractions simples, calcul des intégrales définies, les méthodes sont accompagnées de conseils pour aider à choisir celle qui convient le mieux et illustrées par 47 exemples résolus en détail et commentés - dossier de 29 pages

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