(Juillet 1999 -
série 1)
Enoncé:
Résoudre, dans les nombres complexes l’équation (où
i est l’unité imaginaire) :
Résolution
Nous reconnaissons que l'équation donnée est une équation bicarrée.
Rassemblons les termes en x2:
Avant de commencer la résolution, multiplions chaque terme par -i de façon
à ce que le terme en x4 soit un réel (cela facilitera les calculs par la
suite):
Posons
L'équation s'écrit alors:
Résolvons cette équation du second degré, et pour cela calculons le
réalisant:
Nous devons maintenant calculer les racines carrées du réalisant. Nous
devons donc rechercher les réels a et b tels que:
Remplaçons a dans la première équation du système et
résolvons celle-ci:
Il s'agit à nouveau d'une équation bicarrée, mais dans R
cette fois. Nous posons:
L'équation devient:
Les racines carrées du réalisant sont donc:
Nous pouvons maintenant calculer les solutions de l'équation en
t:
Il nous reste donc à résoudre les deux équations:
Pour résoudre (1), nous posons
Résolvons la première équation du système après y avoir remplacé a:
Posons à nouveau:
Nous obtenons l'équation du second degré:
Les solutions de l'équation (1) sont donc:
Résolvons maintenant l'équation (2) de la même manière:
Résolvons la première équation du système après y avoir remplacé a:
Posons à nouveau:
Nous obtenons l'équation du second degré:
Les solutions de l'équation (2) sont donc:
Conclusion: l'ensemble des solutions de l'équation donnée sont donc:
Rappels de cours concernant cette question:
|
 |
Nombre
complexe |
Un nombre complexe est un nombre sous la forme a+bi où a et b sont des nombres
réels et i , l'unité imaginaire telle que
a est sa partie réelle et b sa partie imaginaire.
|
|
Calcul
des racines carrées d'un nombre complexe |
Rechercher les racines carrées du complexe a+bi revient à
rechercher les réels x et y tels que
Il suffit donc de résoudre ce système en x et y, sans perdre de
vue que x et y sont des réels.
|
|
Résolution
dans l'ensemble des réels de l'équation du second degré |
Pour résoudre l'équation :
calculer son réalisant :
- si r
> 0 , l'équation admet deux solutions :
- si r =
0 , l'équation admet une seule solution (ou deux solutions identiques):
- si r
< 0 , l'équation n'admet pas de solution
|
|
Résolution de l'équation
du second degré dans les nombres complexes |
Soit à résoudre l'équation d'inconnue x (complexe)
où a, b, c sont des nombres complexes (a est non nul)
Calculer le réalisant:
| Calculer les racines carrées de |
 |
c'est-à-dire les complexes r tels que: |
Les solutions de l'équation sont alors données par la formule:
A
télécharger:
format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette
question résolue
(référence : Q96)
Les
fiches de cours en rapport avec cette question:
Les nombres complexes
(référence F17)
Définition d'un nombre complexe, complexe conjugué - égalité de deux
nombres complexes - résolution de l'équation du second degré dans les complexes
- calcul des racines carrées d'un nombre complexe - représentation géométrique
et forme trigonométrique - propriétés (produit, quotient, puissances, formule de
Moivre) - racines nèmes d'un nombre complexe
Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les
équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:
règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes
d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les
équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.
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