Deux piétons...(problème de mouvements à vitesse constante)

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Examen d'admission Université Catholique de Louvain (Belgique)- Algèbre – Question 3 (Juillet 1999 - série 1)

Enoncé:

Deux piétons quittent simultanément deux villes A et B. Ils se déplacent à vitesses constantes respectivement v_a et v_b non spécialement égales. Le premier va de A à B et le second fait le chemin inverse. Ils se croisent une première fois à une distance a de la ville A. Lorsque le piéton parti de A arrive en B, il repart immédiatement vers sa ville d’origine, en gardant toujours la même vitesse de marche. De même, lorsque le piéton parti de B arrive en A, il repart de même dans l’autre sens. Lorsque les piétons se croisent la deuxième fois, ils se trouvent à une distance b de la ville B.

Calculer la distance entre les deux villes en fonction des grandeurs a et b.

Résolution:

Désignons par d la distance entre les villes A et B.

Au moment de la première rencontre, le temps de parcours du piéton parti de A est:

et le temps de parcours du piéton parti de B est:

Puisque les piétons sont partis au même moment, les temps de parcours sont égaux, et nous avons l'équation:

(1)

Au moment de la deuxième rencontre, le temps de parcours du piéton parti de A est:

et le temps de parcours du piéton parti de B est:

Exprimons que ces temps de parcours sont égaux:

(2)

Puisqu'il est demandé d'exprimer d en fonction de a et b, nous devons éliminer v_a et v_b des deux équations. Pour cela, exprimons le quotient dans les équations (1) et (2):