Résolution d'une inéquation irrationnelle avec logarithmes en base quelconque

Examen d'admission Université Catholique de Louvain (Belgique)- Algèbre – Question 2 (Juillet 1999 - série 1)

Enoncé:

Résoudre dans les nombres réels, l'inéquation suivante:

Résolution

Recherchons d'abord le domaine de cette inéquation:

Conditions d'existence:

Le domaine est donc:

Etudions le signe des deux membres de l'inéquation:

Le membre de gauche est positif

Le signe du membre de droite dépend de la valeur de x.

Divisons alors le domaine en deux parties, et résolvons cette inéquation dans chacune d'elle.

* Si le membre de droite est strictement positif c'est-à-dire si:

Nous obtenons une inéquation équivalente en élevant les deux membres au carré:

Par la troisième règle de calcul, nous avons:

Par la première règle de calcul, nous avons:

L'inéquation devient alors:

Posons:

Nous obtenons une inéquation du second degré:

Réalisons le tableau de signes du premier membre et pour cela calculons d'abord ses racines:

Nous obtenons donc:

Conclusion: si , les solutions sont :

* Si , alors le membre de gauche de l'inéquation donnée est strictement positif, tandis que le membre de droite est négatif ou nul. Tous les réels de cet intervalle sont donc solution de l'inéquation.

Finalement, l'ensemble complet des solutions de l'inéquation est:

Rappels de cours concernant cette question:

Rappels sur les logarithmes en base a quelconque

définition:

a étant un réel strictement positif et différent de 1:

domaine de définition:

règles de calcul:

Résolution d'une inéquation simple avec logarithmes en base a quelconque

Suivant la valeur de a, la fonction logarithme en base a est strictement croissante ou strictement décroissante sur .

Si , la fonction logarithme en base a est strictement croissante, cela signifie que les images de deux réels sont dans le même ordre que ceux-ci, c'est à dire:

Si , la fonction logarithme en base a est strictement décroissante, cela signifie que les images de deux réels sont en ordre inverse de ceux-ci, c'est à dire:

Résolution d'une inéquation irrationnelle

Une inéquation irrationnelle est une inéquation dans laquelle l'inconnue apparaît sous un singe radical.

Nous utilisons la propriété suivante (principe d'équivalence):

Autrement dit, nous obtenons une inéquation équivalente en élevant les deux membres au carré, à condition que les deux membres soient strictement positifs.

Voici donc comment procéder:

1) Rechercher le domaine de l'inéquation.

2) Isoler le radical dans l'un des membres de l'inéquation.

3) Etudier le signe de l'autre membre.

4) Partager le domaine en deux parties:
- dans la partie du domaine où les deux membres sont strictement positifs, en élevant ceux-ci au carré, on obtient une inéquation rationnelle équivalente à l'inéquation initiale. Résoudre cette inéquation en ne gardant que les solutions qui appartiennent à cette partie du domaine.
- dans l'autre partie du domaine, on obtient une inéquation impossible ou indéterminée. Dans cette partie du domaine, l'ensemble des solutions est donc soit l'ensemble vide, soit cette partie du domaine.

5) L'ensemble des solutions de l'inéquation initiale est la réunion des deux ensembles ci-dessus.

Domaine d'une expression, équation, inéquation...

Le domaine d'une expression est l'ensemble des réels pour lesquels elle peut être calculée.

Méthode: écrire la ou les conditions d’existence de l’expression et les résoudre. L ’ensemble des solutions est le domaine de l'expression.

Racines et signe de l'expression du second degré

Considérons l'expression du second degré:

Calculer le réalisant :

1^er cas:

Les racines sont :

et le tableau de signe :

2^ème cas:

Le trinôme n'admet qu'une seule racine :

et le tableau de signe :

3^ème cas:

Le trinôme n’admet pas de racine et le trinôme est du signe de a pour toutes les valeurs de x.

à télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip

Cette question résolue (référence : Q94)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Recherche du domaine de définition d'une fonction
(référence F7)
définition, lecture du domaine de définition sur un graphique, méthode de recherche du domaine de définition d'une fonction donnée par son expression analytique, liste des conditions d'existence d'une expression.

Racines carrées d'un nombre réel
(référence F8)
définition du symbole racine carrée positive, condition d'existence, propriétés, résolution de l'équation x² = a, simplification des radicaux, comment chasser un radical du dénominateur d'une fraction, exemples d'applications.

Comment étudier le signe d'une expression?
(référence F10)
Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas.

Les fonctions logarithmes
(référence F15)
fonction logarithme népérien: définition, représentation graphique, propriétés de la fonction (domaine de définition, croissance, limites aux bornes du domaine, dérivée), règle de calcul - fonctions logarithmes en base a quelconque: définition, représentation graphique, propriétés de la fonction (domaine de définition, croissance, limites aux bornes du domaine, dérivée), règle de calcul, propriété (lien avec exponentielle népérienne)

Les inéquations
(référence : F18)
Principes d'équivalence des inégalités - les inéquations du premier degré - les inéquations rationnelles - les inéquations irrationnelles. Illustrations par des exemples détaillés.

Cours de soutien scolaire

Les news de Techno-science.net

Hébergement de votre site = 39 euro/an luxpixel.com