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Examen d'admission Université
Catholique de Louvain (Belgique)- Algèbre – Question 1 (Juillet 1999 -
série 1)
Enoncé:
Soit a un paramètre réel. Discuter et résoudre, dans
les nombres réels, le système d'équations que voici:
Remarque: Ne pas s'embarquer dans des calculs de
déterminants!
Résolution
Ce système comprenant plus d'équations que d'inconnues, extrayons d'abord un
sous-système de trois équations à trois inconnues et résolvons-le. Les
solutions trouvées devront vérifier l'équation provisoirement écartée pour
être solutions du système.
Résolvons le système formé par les trois premières équations:
Additionnons la deuxième équation à la première afin
d'éliminer x et z:
Remplaçons y par la valeur trouvée dans les deux autres
équations:
Pour calculer z nous devons diviser les deux membre par 1 + 2a.
Nous devons donc faire une discussion:
| 1er cas: |
 |
La troisième équation devient:
Cette équation étant impossible, le système l'est également:
| 2ème cas: |
|
La troisième équation donne alors:
La solution du sous-système est donc:
Pour être solution du système donné, cette solution doit
vérifier la quatrième équation que nous avions écartée. Nous obtenons alors
la condition:
Le système donné n'admet donc des solutions que pour ces deux valeurs de a.
Reprenons la solution et remplaçons a. On obtient:
Le système admet le triplet (0,1,0) comme solution.
Calculons la solution pour cette valeur de a:
Le système admet le triplet (2,1,2) comme solution.
Synthèse:
Rappels de cours concernant cette question:
|
 |
Principes d'équivalence des systèmes d'équations |
1.
Méthode de substitution
Si on remplace dans une équation d’un système, l’une des inconnues par
l’expression obtenue en isolant cette inconnue dans une autre équation, le
système obtenu admet les mêmes solutions que le système initial.
2.
Méthode des combinaisons
Si on ajoute à une équation d’un système un multiple d’une autre équation du
système, le système obtenu admet les mêmes solutions que le système initial.
A télécharger: format
Microsoft Word compressé au format .zip
Cette question résolue
(référence : Q93)
Les fiches de cours en rapport avec cette question:
Résolution d'un système de 2
équations du 1er degré
(référence F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométrique
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