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Hébergement de vote site internet: 1,75 € ht par mois Examen d'admission Université libre de Bruxelles (Belgique)- Analyse – Question 3 (Septembre 1999)
Soient la fonction f de R dans R définie par
et C la courbe d'équation y = f(x) (C est le graphe de f).
a) Calculer f '(x) et f "(x)
b) Déterminer une équation cartésienne de la tangente à C au point d'abscisse - 1.
c) Etablir le tableau des variations de f, f ' et f " contenant
- les racines de f, f ' et f " (pour les valeurs approchées des racines non entières utiliser une décimale).
- les signes de f '(x) et de f "(x)
- les extréma de f , les domaines de croissance et de décroissance de f
- les points d'inflexion de f et les domaines de concavité vers le haut et vers le bas de f.
d) Tracer soigneusement la courbe C d'après les résultats du c).
e) Sans nouveau calcul, tracer le graphe de la fonction g (de R dans R) définie par
Résolution a) Calcul de f ' : Calcul de f ": b) Equation de la tangente au graphe de f au point d'abscisse - 1: L'équation de cette tangente est donc: c) racines de f: racines de f ': racines de f ": Signe de f ': Signe de f ": Tableau récapitulatif La fonction admet un minimum pour qui vaut et un maximum pour qui vaut La courbe présente trois points d'inflexion: l'un d'abscisse et d'ordonnée le deuxième d'abscisse 0 et d'ordonnée f(0) = 0 le troisième d'abscisse et d'ordonnée d) Tracé de la courbe C (les points rouges sont les points d'inflexion) e) Tracé de la courbe définie par Nous avons que: Par conséquent, le graphe de g coïncide avec celui de f sur les réels positifs, et il est l'image par la symétrie orthogonale d'axe X du graphe de f sur les réels négatifs. Rappels de cours concernant cette question: La fonction exponentielle népérienne définition où e est le nombre de Neper représentation graphique domaine de définition signe limites aux bornes du domaine dérivée propriété La fonction exponentielle népérienne est la réciproque de la fonction logarithme népérien: Valeur absolue d'un réel Equation de la tangente au graphe d'une fonction f au point d'abscisse a Extremum d'une fonction (maximum ou minimum), croissance et décroissance Si la fonction dérivée de f est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, alors la fonction est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur cet intervalle. Les changements de signe de la dérivée indiquent l'existence d'un extremum (minimum ou maximum) Méthode : - calculer la fonction dérivée de f (voir formules des dérivées) - rechercher les racines des facteurs composant f' puis établir son tableau de signe - en déduire les intervalles où f est croissante, décroissante ainsi que les extrema Concavité et points d'inflexion On sait que si la fonction dérivée seconde d'une fonction est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, le graphe de la fonction tourne sa concavité vers le haut (respectivement vers le bas) sur cet intervalle. Méthode : - calculer la fonction dérivée seconde de la fonction (dériver la fonction dérivée au moyen des formules) - rechercher les racines des facteurs composant f'' et établir son tableau de signe - en déduire le sens de la concavité du graphe de la fonction et les points d'inflexion Racines et signe de l'expression du second degré Considérons l'expression du second degré: Calculer le réalisant : 1er cas: Les racines sont : et le tableau de signe : 2ème cas: Le trinôme n'admet qu'une seule racine : et le tableau de signe : 3ème cas: Le trinôme n’admet pas de racine et le trinôme est du signe de a pour toutes les valeurs de x. Graphe de de la valeur absolue d'une fonction f à partir du graphe f La partie du graphe située au-dessus de l'axe X est conservée, et l'autre partie effectue une symétrie d'axe X. Formules des dérivées employées dans cette question A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip Cette question résolue (référence : Q92) Le formulaire des dérivées dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions. Les fiches de cours en rapport avec cette question: La fonction du second degré (référence : F2) définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit Dérivée d'une fonction (référence : F4) définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction) Comment étudier le signe d'une expression? (référence F10) Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas. Cours de soutien scolaire Les news de Techno-science.net [ Accueil | Analyse | Algèbre | Géométrie | Géométrie analytique | Trigonométrie | Glossaire | Recherche | Téléchargement | Contact | Liens ] Hébergement de votre site = 1,75 EUR/mois luxpixel.com
a) Calcul de f ' :
Calcul de f ":
b) Equation de la tangente au graphe de f au point d'abscisse - 1:
L'équation de cette tangente est donc:
c) racines de f:
racines de f ':
racines de f ":
Signe de f ':
Signe de f ":
Tableau récapitulatif
La fonction admet un minimum pour qui vaut et un maximum pour qui vaut
La courbe présente trois points d'inflexion:
l'un d'abscisse et d'ordonnée
le deuxième d'abscisse 0 et d'ordonnée f(0) = 0
le troisième d'abscisse et d'ordonnée
d) Tracé de la courbe C
(les points rouges sont les points d'inflexion)
e) Tracé de la courbe définie par
Nous avons que:
Par conséquent, le graphe de g coïncide avec celui de f sur les réels positifs, et il est l'image par la symétrie orthogonale d'axe X du graphe de f sur les réels négatifs.
La fonction exponentielle népérienne
définition
où e est le nombre de Neper
représentation graphique
domaine de définition
signe
limites aux bornes du domaine
dérivée
propriété
La fonction exponentielle népérienne est la réciproque de la fonction logarithme népérien:
Valeur absolue d'un réel
Equation de la tangente au graphe d'une fonction f au point d'abscisse a
Extremum d'une fonction (maximum ou minimum), croissance et décroissance
Si la fonction dérivée de f est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, alors la fonction est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur cet intervalle. Les changements de signe de la dérivée indiquent l'existence d'un extremum (minimum ou maximum)
Méthode :
- calculer la fonction dérivée de f (voir formules des dérivées)
- rechercher les racines des facteurs composant f' puis établir son tableau de signe
- en déduire les intervalles où f est croissante, décroissante ainsi que les extrema
Concavité et points d'inflexion
On sait que si la fonction dérivée seconde d'une fonction est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, le graphe de la fonction tourne sa concavité vers le haut (respectivement vers le bas) sur cet intervalle.
- calculer la fonction dérivée seconde de la fonction (dériver la fonction dérivée au moyen des formules)
- rechercher les racines des facteurs composant f'' et établir son tableau de signe
- en déduire le sens de la concavité du graphe de la fonction et les points d'inflexion
Racines et signe de l'expression du second degré
Considérons l'expression du second degré:
Calculer le réalisant :
Les racines sont :
et le tableau de signe :
Le trinôme n'admet qu'une seule racine :
Le trinôme n’admet pas de racine et le trinôme est du signe de a pour toutes les valeurs de x.
Graphe de de la valeur absolue d'une fonction f à partir du graphe f
La partie du graphe située au-dessus de l'axe X est conservée, et l'autre partie effectue une symétrie d'axe X.
Formules des dérivées employées dans cette question
A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette question résolue (référence : Q92) Le formulaire des dérivées dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions. Les fiches de cours en rapport avec cette question: La fonction du second degré (référence : F2) définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit Dérivée d'une fonction (référence : F4) définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction) Comment étudier le signe d'une expression? (référence F10) Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas.
Cette question résolue (référence : Q92)
Le formulaire des dérivées dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions.
Les fiches de cours en rapport avec cette question:
La fonction du second degré (référence : F2) définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit Dérivée d'une fonction (référence : F4) définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction) Comment étudier le signe d'une expression? (référence F10) Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas.
La fonction du second degré (référence : F2) définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit
Dérivée d'une fonction (référence : F4) définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction)
Comment étudier le signe d'une expression? (référence F10) Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas.
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