Examen d'admission Université libre de Bruxelles  (Belgique)- Analyse – Question 3 (Septembre 1999)

Enoncé:

Soient la fonction f de R dans R définie par

et C la courbe d'équation y = f(x) (C est le graphe de f).

a) Calculer f '(x) et f "(x)

b) Déterminer une équation cartésienne de la tangente à C au point d'abscisse - 1.

c) Etablir le tableau des variations de f, f ' et f " contenant

    - les racines de f, f ' et f " (pour les valeurs approchées des racines non entières utiliser une décimale).

    - les signes de f '(x) et de f "(x)

    - les extréma de f , les domaines de croissance et de décroissance de f

    - les points d'inflexion de f et les domaines de concavité vers le haut et vers le bas de f.

d) Tracer soigneusement la courbe C d'après les résultats du c).

e) Sans nouveau calcul, tracer le graphe de la fonction g (de R dans R) définie par

Résolution

a) Calcul de f ' :

Calcul de f ":

b) Equation de la tangente au graphe de f au point d'abscisse - 1:

L'équation de cette tangente est donc:

c) racines de f:

racines de f ':

racines de f ":

Signe de f ':

Signe de f ":

Tableau récapitulatif

La fonction admet un minimum pour qui vaut et un maximum pour qui vaut

La courbe présente trois points d'inflexion:

    l'un d'abscisse et d'ordonnée

    le deuxième d'abscisse 0 et d'ordonnée f(0) = 0

    le troisième d'abscisse et d'ordonnée

d) Tracé de la courbe C

(les points rouges sont les points d'inflexion)

e) Tracé de la courbe définie par

Nous avons que:

Par conséquent, le graphe de g coïncide avec celui de f sur les réels positifs, et il est l'image par la symétrie orthogonale d'axe X du graphe de f sur les réels négatifs.

Rappels de cours concernant cette question:

La fonction exponentielle népérienne

• définition

où e est le nombre de Neper

• représentation graphique

• domaine de définition

• signe

• limites aux bornes du domaine

• dérivée

• propriété

La fonction exponentielle népérienne est la réciproque de la fonction logarithme népérien:

Valeur absolue d'un réel

Equation de la tangente au graphe d'une fonction f au point d'abscisse a

Extremum d'une fonction (maximum ou minimum), croissance et décroissance

Si la fonction dérivée de f est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, alors la fonction est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur cet intervalle. Les changements de signe de la dérivée indiquent l'existence d'un extremum (minimum ou maximum)

Méthode :

- calculer la fonction dérivée de f (voir formules des dérivées) 

- rechercher les racines des facteurs composant f' puis établir son tableau de signe

- en déduire les intervalles où f est croissante, décroissante ainsi que les extrema

Concavité et points d'inflexion

On sait que si la fonction dérivée seconde d'une fonction est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, le graphe de la fonction tourne sa concavité vers le haut (respectivement vers le bas) sur cet intervalle.

 Méthode :

- calculer la fonction dérivée seconde de la fonction (dériver la fonction dérivée au moyen des formules)

- rechercher les racines des facteurs composant  f'' et établir son tableau de signe 

- en déduire le sens de la concavité du graphe de la fonction et les points d'inflexion 

Racines et signe de l'expression du second degré

Considérons l'expression du second degré:

Calculer le réalisant : 

1er cas:

Les racines sont :
   

et le tableau de signe : 

2ème cas:

Le trinôme n'admet qu'une seule racine : 

et  le tableau de signe :

3ème cas:

Le trinôme n’admet pas de racine et le trinôme est du signe de a pour toutes les valeurs de x.

Graphe de de la valeur absolue d'une fonction f à partir du graphe f

La partie du graphe située au-dessus de l'axe X est conservée, et l'autre partie effectue une symétrie d'axe X.

Formules des dérivées employées dans cette question