Hébergement de vote site internet: 1,75 € ht par mois
Examen d'admission Université Libre de Bruxelles (Belgique)-
Analyse – Question 2 (Septembre 1999)
Enoncé:
Calculer :
Résolution:
a) Afin d'éliminer le facteur x, nous effectuons une intégration par
parties en posant:
En appliquant la formule d'intégration par parties, on obtient:
Nous allons tenter de résoudre la nouvelle intégrale définie
par substitution en posant:
Calculons les nouvelles bornes:
L'intégrale à calculer devient:
Nous observons que:
En effet la fonction
est une fonction impaire car
Conclusion:
b) Immédiatement:
car nous savons que si f est une fonction continue sur
l'intervalle [0,x], alors la fonction:
est une primitive de f. Autrement dit:
c) Représentons d'abord la fonction à intégrer:
Représentons maintenant l'intégrale définie à calculer:
La fonction étant positive sur l'intervalle d'intégration,
elle est égale à la somme des rectangles:
Rappels de cours concernant cette question:
 |
Primitives
d'une fonction |
Si f est une fonction continue sur un intervalle I de réels, alors la fonction
F (définie sur cet intervalle I) est appelée une primitive de f
Si F est une primitive de f sur l'intervalle I, alors toute primitive de f
sur I est de la forme F + k où k est un réel.
L'ensemble des primitives de f se note:
|
|
Intégration par parties |
|
|
Intégration par substitution |
Pour calculer
on peut poser:
avec
|
|
Fonction impaire |
La fonction f est impaire signifie que, quel que soit le réel x de son
domaine, f(-x) = -f(x)
Le graphe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine O des
axes.
Si f est une fonction impaire alors, quel que soit le réel
a:
|
|
Calcul
d'une intégrale définie |
où F est une primitive de f c’est-à-dire que
|
|
Interprétation
géométrique de l'intégrale définie |
Appelons A l'aire de la
partie du plan limitée par le graphe de la fonction f, l'axe X des abscisses, et
les droites parallèles à l'axe Y d'abscisses a et b.
Cas où f est positive sur
l'intervalle [a,b]
Cas où f est négative sur
l'intervalle [a,b]
|
|
Formule des primitives
employées dans cette question |
|
|
Propriétés
des intégrales définies |
à télécharger:
format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette question résolue
(référence : Q91)
Le formulaire des primitives
primitives des fonctions de base et de la composées de ces fonctions,
opérations avec les fonctions - formules de l'intégration par parties - intégration
par changement de variable.
Les fiches de cours en rapport avec cette question:
Maîtriser le calcul intégral
pas à pas!
(référence F13)
Intégration immédiate - formules et leurs utilisations - comment transformer
astucieusement une expression afin de l'intégrer - intégration par parties
- intégration par substitution - liste de substitutions utiles - quelles
formules employer pour intégrer les fonctions trigonométriques - intégration
des fractions de polynômes - décomposition en fractions simples -
calcul des intégrales définies - les méthodes sont accompagnées de conseils
pour aider à choisir celle qui convient le mieux et illustrées par 47 exemples
résolus en détail et commentés - dossier de 29 pages
Intégrale définie d'une fonction
continue sur l'intervalle [a,b]
(référence F3)
définition, propriétés, interprétation graphique, calcul, applications:
calcul d'une aire plane, d'un volume de révolution.
Hébergement de votre site =
1,75 EUR/mois
luxpixel.com
