Examen d'admission Université libre de Bruxelles  (Belgique)- Analyse – Question 1 (Septembre 1999)

Enoncé:

Pour 

on définit

(a) Démontrer que

on a

(b) Calculer

discuter suivant les valeurs de x.

Résolution:

(a) Remarquons d'abord que

Effectuons la division du polynôme par en employant la méthode de Horner:

Le reste de la division est nul et le quotient est:

Nous avons donc :

(b)

Rappels de cours concernant cette question:

Division d'un polynôme par x - a

Condition de divisibilité d'un polynôme par x - a

Calcul du quotient et du reste par la méthode de Horner

La méthode de Horner est une disposition pratique permettant d'obtenir le quotient et le reste très rapidement.

Nous allons l'expliquer avec

et le diviseur

Nous construisons le tableau suivant:

La première ligne contient les coefficient de P(x) écrits dans l'ordre des puissances décroissantes de x (tous les coefficients doivent être inscrits, même les coefficients nuls). Sur la seconde ligne nous inscrivons la valeur de a dans le diviseur x-a.

Abaissons d'abord le premier coefficient de P(x) dans la troisième ligne:

Celui-ci est multiplié par a et inscrit dans la deuxième ligne en-dessous du deuxième coefficient de P(x) et additionné à celui-ci. On inscrit le résultat dans la troisième ligne:

On recommence ces étapes avec ce nouveau résultat (le coefficient est multiplié par a et inscrit sous le troisième coefficient de P(x) puis additionné à celui-ci):

Et ainsi de suite jusqu'à ce que la grille soit remplie:

La dernière ligne donne les coefficients du quotient et le reste.