Examen d'admission Université de Liège (Belgique)- Analyse – Question 1 (Septembre 1998)

Enoncé:

Calculer

Résolution

Nous allons effectuer le changement de variable suivant :

Décomposons la fonction en une somme de fractions simples, c'est-à-dire cherchons les valeurs de a, b, c afin que:

Réduisons la somme des deux fractions au même dénominateur puis rassemblons les termes semblables du numérateur:

Identifions les coefficients du numérateur de la fraction obtenue avec ceux de la fraction de départ et résolvons le système :

On en déduit:

Revenons au calcul de l'intégrale définie :

Rappels de cours concernant cette question:

Calcul d'une intégrale définie

 
où F est une primitive de f c’est-à-dire que

Intégration par substitution

Pour calculer

on peut poser:

avec

Pour intégrer les fractions de polynômes dont le degré du numérateur est strictement inférieur au degré du dénominateur, on décompose celles-ci en une somme de fractions simples.

Pour cela :

a. Factoriser le dénominateur en polynômes du type

 et

de sorte que ces derniers ne soient pas décomposables en facteurs du premier degré donc avec la condition que

(Cette décomposition existe et est unique).

b. Ecrire la fraction donnée sous la somme de fractions simples de la manière suivante:

Pour chaque facteur du dénominateur du type

il correspond la somme de n fractions simples:

Pour chaque facteur du dénominateur du type

il correspond la somme de fractions simples

c. Réduire la somme des fractions obtenues au même dénominateur et rassembler au numérateur les termes semblables afin d’obtenir un polynôme en la variable donnée.

d. Identifier les coefficients respectifs de même puissance dans la fraction donnée et dans la fraction obtenue. Cela conduit à système d’équations linéaires.

e. Résoudre ce système. On obtient ainsi les coefficients des fractions simples.

f. Intégrer la somme des fractions simples.
 

à télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip 

Cette question résolue (référence : Q9)

Le formulaire des dérivées
dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions.

Le formulaire des primitives
primitives des fonctions de base  et de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions - formules de l'intégration par parties - intégration par changement de variable.

La fiche de cours en rapport avec cette question:

Maîtriser le calcul intégral pas à pas!
(référence F13)
Intégration immédiate - formules et leurs utilisations - comment transformer astucieusement une expression afin de l'intégrer - intégration par parties - intégration par substitution - liste de substitutions utiles - quelles formules employer pour intégrer les fonctions trigonométriques - intégration des fractions de polynômes  - décomposition en fractions simples - calcul des intégrales définies - les méthodes sont accompagnées de conseils pour aider à choisir celle qui convient le mieux et illustrées par 47 exemples résolus en détail et commentés - dossier de 29 pages

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