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Examen d'admission Université libre
de Bruxelles (Belgique)- Algèbre – Question 5 (Septembre 1999)
Enoncé:
Soit l'équation:
possédant 3 racines réelles en
progression géométrique.
(a) Sans calculer les racines,
déterminer la raison de cette progression.
(b) En déduire la valeurs des 3
racines.
Résolution
(a) Appelons a la première de ces racines, et r la raison de la
progression géométrique.
Les 3 racines sont donc: a, a.r, a.r2
Le membre de gauche de l'équation est un polynôme du troisième degré et
peut donc se factoriser en un produit de 3 facteurs de la manière suivante:
Effectuons les calculs du second membre de cette égalité et regroupons les
termes suivants les puissances de x:
Le polynôme obtenu étant égal au polynôme donné, nous
identifiions les coefficients des termes de même degré. Nous obtenons le
système:
Isolons a dans la troisième équation et remplaçons a dans
la première:
La première équation ne contenant plus que l'inconnue r, résolvons-la:
Nous obtenons une équation du second degré:
La raison de la progression géométrique est donc 2 ou
.
(b) Pour chacune des valeurs de r, calculons les racines.
.
et les racines sont alors:
et les racines sont alors:
Nous observons que nous obtenons les mêmes valeurs dans l'ordre inverse.
Conclusion: les racines de l'équation sont 1, 2 et 4.
Rappels de cours concernant cette
question:
 |
Progression
géométrique |
Une progression géométrique est une suite de nombres obtenus (à partir du
deuxième) en multipliant le précédent par une constante appelée raison.
Si le premier terme est a et la raison r, les termes de la suite sont:
|
|
Division d'un
polynôme par x - a |
Condition de divisibilité d'un polynôme
par x - a
|
|
Egalité de
deux polynômes |
Deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients respectifs des
termes de même degré sont égaux.
Par exemple:
|
|
Racines
d'une expression du second degré |
Pour résoudre l'équation :
calculer son réalisant :
- si r
> 0 , l'équation admet deux solutions :
- si r =
0 , l'équation admet une seule solution (ou deux solutions identiques):
- si r
< 0 , l'équation n'admet pas de solution
A
télécharger:
format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette
question résolue
(référence : Q89)
Les
fiches de cours en rapport avec cette question:
La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines,
factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines,
détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit
Résolution d'un système de 2 équations du
1er degré
(référence
F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométrique
Division euclidienne des
polynômes
(référence F14)
Définition - description détaillée sur un exemple de la méthode de calcul
du quotient et du reste de la division euclidienne d'un polynôme par un
polynôme - cas particulier de la division par x - a : loi du reste, divisibilité,
méthode de Hörner
Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les
équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:
règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes
d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les
équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.
