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Résoudre dans C l'équation:
Représenter approximativement les solutions dans le plan de Gauss.
Afin de calculer plus facilement le déterminant, nous allons faire apparaître des zéros dans la troisième ligne en soustrayant la première colonne de la deuxième et de la troisième:
Nous calculons ensuite le déterminant en développant par rapport à la troisième ligne:
Factorisons le premier membre afin d'appliquer la règle du produit nul. Nous employons d'abord la formule de factorisation de la différence de deux cubes afin de faire apparaître un facteur commun:
Résolvons l'équation:
Divisons d'abord les deux membres par 1-i afin de simplifier les calculs ultérieurs:
Transformons le terme indépendant en multipliant numérateur et dénominateur par le complexe conjugué du dénominateur afin d'écrire le terme indépendant sous la forma a+bi:
Nous obtenons une équation bicarrée en z. Nous la ramenons à une équation du second degré en posant:
Nous obtenons l'équation:
Nous devons à présent chercher les racines carrées du réalisant -3+4i, c'est à dire calculer les réels a et b tels que:
Identifions les parties réelles et les parties imaginaires:
Nous isolons a dans la deuxième équation et nous remplaçons dans la première:
Résolvons cette première équation:
Multiplions les deux membres par b2 afin de faire disparaître le dénominateur puis ordonnons les termes:
Ceci est encore une équation bicarrée. Nous posons:
L'équation devient:
Revenons au système pour calculer a en remplaçant b par sa valeur:
Les racines carrées du réalisant -3+4i sont donc
Nous pouvons maintenant calculer les solutions de l'équation du second degré en t:
Résolvons l'équation (1) en posant z = x+yi:
On obtient les solutions:
Il reste à résoudre l'équation (2) de la même manière:
Résolvons la première équation en posant
Cette équation devient:
Remplaçons y par sa valeur dans la deuxième équation pour calculer la valeur de x:
On obtient les solutions:
Conclusion: l'ensemble des solutions de l'équation donnée est:
Représentation des solutions dans le plan de Gauss:
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Calcul du déterminant d'une matrice |
Déterminant 3x3
Considérons une matrice c'est-à-dire un tableau de nombres (réels ou complexes), composée de 3 lignes et de 3 colonnes.
Définitions préalables
Le mineur d'un élément aij, noté Mij est le déterminant obtenu en supprimant la ligne i et la colonne j (ligne et colonne dans lesquelles se trouve l'élément aij) dans le tableau donné.
Exemple: le mineur de l'élément a23 est:
Le cofacteur d'un élément aij, noté Aij est donné par la formule:
La somme des produits des élément d'une rangée (ligne ou colonne) par leur cofacteur respectif est une constante. Cette constante est appelée déterminant de la matrice.
On aura donc par exemple, si nous développons suivant la deuxième ligne :
Remarque: pour calculer le déterminant, la ligne ou la colonne suivant laquelle nous développons est laissée à notre choix. Nous pouvons donc choisir celle qui contient le plus d'éléments nuls (s'il y en a) ou en faire apparaître à l'aide des propriétés suivantes.
Lorsqu'on multiplie les éléments d'une rangée (ligne ou colonne) par un facteur commun, le déterminant est multiplié par ce facteur.
Conséquence: on peut mettre en évidence un facteur commun à tous les éléments d'une ligne ou colonne.
Lorsqu'on ajoute à une rangée une combinaison linéaire (somme de multiples) des rangées parallèles, la valeur du déterminant ne change pas
En pratique: On emploie cette propriété pour faire apparaître des éléments nuls dans la matrice et ainsi faciliter le calcul du déterminant
Conséquence: lorsque deux rangées parallèles (lignes ou colonnes) sont multiples l'une de l'autre (en particulier égales), le déterminant est nul.
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Règle du produit nul |
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Nombre complexe |
Un nombre complexe est un nombre sous la forme a+bi où a et b sont des nombres réels et i , l'unité imaginaire telle que
a est sa partie réelle et b sa partie imaginaire.
Représentation dans le plan de Gauss:
Le plan étant muni d'un repère orthonormé, nous représentons le complexe par le point P de coordonnée (a,b). Le complexe z est alors appelé l'affixe du point P. L'axe des abscisses est appelé l'axe réel et l'axe des ordonnées, l'axe imaginaire
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Résolution de l'équation du second degré dans les nombres complexes |
Soit à résoudre l'équation d'inconnue x (complexe)
où a, b, c sont des nombres complexes (a est non nul)
Calculer le réalisant:
| Calculer les racines carrées de |  |
c'est-à-dire les complexes r tels que: |
Les solutions de l'équation sont alors données par la formule:
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Calcul des racines carrées d'un nombre complexe |
Rechercher les racines carrées du complexe a+bi revient à rechercher les réels x et y tels que
Il suffit donc de résoudre ce système en x et y, sans perdre de vue que x et y sont des réels.
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Simplification des radicaux |
Pour simplifier un radical, on écrit le nombre sous le signe radical sous la forme d’un produit dont l’un des facteurs est un carré, et on applique la propriété:
Pour chasser les radicaux du dénominateur d'une fraction lorsque ce dénominateur comporte deux termes, on multiplie le numérateur et le dénominateur par l’expression conjuguée de celui-ci.
A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette question résolue
(référence : Q88)Les fiches de cours en rapport avec cette question:
La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produitRésolution d'un système de 2 équations du 1er degré
(référence F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométriqueRacines carrées d'un nombre réel
(référence F8)
définition du symbole racine carrée positive, condition d'existence, propriétés, résolution de l'équation x2 = a, simplification des radicaux, comment chasser un radical du dénominateur d'une fraction, exemples d'applications.Les nombres complexes
(référence F17)
Définition d'un nombre complexe, complexe conjugué - égalité de deux nombres complexes - résolution de l'équation du second degré dans les complexes - calcul des racines carrées d'un nombre complexe - représentation géométrique et forme trigonométrique - propriétés (produit, quotient, puissances, formule de Moivre) - racines nèmes d'un nombre complexeCalcul du déterminant d'une matrice
(référence F19)
Déterminant 2x2 (définition) - Déterminant 3x3 (mineur et cofacteur d'un élément d'une matrice - définition du déterminant - propriété permettant de faciliter le calcul d'un déterminant - illustration par des exemplesLes équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation: règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.
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Cours de soutien scolaire
KeepSchool
Soutien
scolaire du CP à la Terminale, 12 matières, cours de langues, de
bureautique, de gestion/finance en ligne.
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