(Septembre 1999)
Enoncé:
Résoudre dans R, en discutant par rapport paramètre
réel a, l'équation:
Résolution
Conditions d'existence:
Isolons l'un des radicaux dans un membre:
Pour éliminer les radicaux, on élève chaque membre au carré. Mais nous rappelons
que
Par conséquent, comme le premier membre est une racine carrée positive,
nous obtiendrons une équation équivalente avec la condition supplémentaire:
Si
, cette nouvelle condition est vérifiée pour toutes les valeurs de x du
domaine de l'équation.
Si
, nous devons résoudre l'inéquation irrationnelle:
Les deux membres de cette inéquation étant positifs, nous
obtenons une inéquation équivalente en élevant chaque membre au carré:
En ajoutant cette condition à celles de départ, nous obtenons que les
solutions devrons vérifier:
Revenons à l'équation à résoudre et élevons chaque membre au carré:
Si a = 0, nous voyons immédiatement que cette équation n'a pas
de solution.
Par conséquent, si a est non nul, nous pouvons diviser les deux
membres par 2a afin d'isoler le radical:
Le membre de droite étant une racine carrée positive, cette
équation n'a de solution que si:
Afin de résoudre cette inéquation, nous réalisons le tableau
des signes du membre de gauche:
Nous en déduisons que l'équation donnée n'admet de solutions
que si:
Reprenons l'équation et élevons les deux membres au carré:
Il reste à contrôler que la solution vérifie bien les
conditions.
1er cas:
La condition est:
Cette condition est donc toujours vérifiée pour ces valeurs de
a.
2ème cas:
La condition est:
(la dernière équivalence est justifiée par le fait que le
dénominateur est strictement positif)
Pour résoudre cette inéquation nous posons:
La condition devient:
Calculons les racines du
membre de gauche:
Le tableau des signes est:
La condition est donc vraie si:
La première de ces conditions est vraie pour toutes les valeurs de a et la
deuxième est équivalente à:
Réalisons le tableau des signes du membre de gauche:
La condition est donc vraie si
.Or
. La
condition n'est donc pas vérifiée pour
et
dans ce cas, l'équation n'admet pas de solution.
Conclusion:
Rappels de cours concernant cette question:
|
Résolution d'une équation
irrationnelle
|
Une équation irrationnelle est une équation dont l'inconnue apparaît
sous un signe radical.
Pour éliminer les radicaux, on élève les deux membres au carré
(à cet effet, il est souvent utile d'isoler le radical dans un membre).
On utilise ainsi le principe d'équivalence:
Il faut donc exprimer la condition pour que les deux membres aient
le même signe. La marche à suivre est la suivante:
 |
Rechercher le domaine de l’équation.
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Isoler le radical dans un membre.
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|
Rechercher la condition pour que les deux membres aient
le même signe. (rappel : désigne le nombre positif dont le carré est a)
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Elever les deux membres au carré.
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|
Si l’équation obtenue contient encore un radical, isoler
celui-ci dans un membre et renouveler le procédé.
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Lorsque l’équation ne contient plus de radical, résoudre
l’équation obtenue.
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|
Rejeter les solutions ne faisant pas partie du domaine et
celles qui ne vérifient pas les conditions.
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Racines et signe
de l'expression du second degré |
Considérons l'expression du second degré:
Calculer le réalisant :
| 1er
cas: |
|
Les racines sont :
et le tableau de signe :
| 2ème cas: |
|
Le trinôme n'admet qu'une seule racine :
et le tableau de signe :
| 3ème cas: |
|
Le trinôme n’admet pas de racine et le trinôme est du signe de a pour toutes
les valeurs de x.
|
|
Identités
remarquables employées dans cette question |
A
télécharger:
format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette
question résolue
(référence : Q87)
Le formulaire des identités
remarquables
identités remarquables (formules de factorisation, carrés, cubes...) ainsi
que la formule du binôme de Newton, le triangle de Pascal et les explications
pour construire celui-ci.
Les fiches de cours en rapport
avec cette question:
La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines,
factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines,
détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit
Recherche du domaine de définition
d'une fonction
(référence F7)
définition, lecture du domaine de définition sur un graphique, méthode de
recherche du domaine de définition d'une fonction donnée par son expression
analytique, liste des conditions d'existence d'une expression.
Racines carrées d'un nombre
réel
(référence F8)
définition du symbole racine carrée positive, condition d'existence, propriétés,
résolution de l'équation x2 = a, simplification des radicaux,
comment chasser un radical du dénominateur d'une fraction, exemples d'applications.
Comment étudier le signe d'une
expression?
(référence F10)
Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du
second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme
ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle).
Exemples détaillés de tous ces cas.
Les inéquations
(référence : F18)
Principes d'équivalence des inégalités - les inéquations du premier degré
- les inéquations rationnelles - les inéquations irrationnelles. Illustrations
par des exemples détaillés.
Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré -
les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:
règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes
d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à
2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au
moyen d'exemples.
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