Examen d'admission Université libre de Bruxelles  (Belgique)- Algèbre – Question 2 (Septembre 1999)

Enoncé:

Résoudre dans R² le système:

Résolution

Conditions d'existence:

Exprimons les logarithmes en base x et y en fonction du logarithme népérien:

Réduisons le premier membre de la première équation au même dénominateur et transformons la deuxième à l'aide de la première règle de calcul des logarithmes:

Substituons ln x + ln y dans la première équation par la valeur donnée dans la deuxième:

Multiplions les deux membres de la première équation par 2/7:

Inversons les deux membres de la première équation:

Isolons ln x dans la deuxième équation et remplaçons dans la première:

Résolvons la première équation:

Afin d'obtenir une équation du second degré, posons:

Nous obtenons l'équation:

Pour chacune des valeurs trouvées pou y, calculons la valeur de x correspondante en utilisant la deuxième équation du système:

Les solutions sont donc les couples:

Rappels de cours concernant cette question:

Rappels sur les logarithmes en base a quelconque

• définition:

a étant un réel strictement positif et différent de 1:

• lien avec le logarithme népérien:

Rappels sur les logarithmes népériens

• définition:

• règles de calcul:

• principe d'équivalence:

Résolution dans l'ensemble des réels de l'équation du second degré

Pour résoudre l'équation :

calculer son réalisant :

- si r  > 0 , l'équation admet deux solutions :

- si r = 0 , l'équation admet une seule solution (ou deux solutions identiques):

- si r < 0 , l'équation n'admet pas de solution

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q86)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Résolution d'un système de 2 équations du 1er degré
(référence F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométrique

Les fonctions logarithmes
(référence F15)
fonction logarithme népérien: définition, représentation graphique, propriétés de la fonction (domaine de définition, croissance, limites aux bornes du domaine, dérivée), règle de calcul - fonctions logarithmes en base a quelconque:  définition, représentation graphique, propriétés de la fonction (domaine de définition, croissance, limites aux bornes du domaine, dérivée), règle de calcul, propriété (lien avec exponentielle népérienne)

Résolution d'une équation avec logarithmes
(référence F21)
Rappels des définitions, domaine, règles de calcul, principes d'équivalence des logarithmes en base a et népérien - méthodes de résolution illustrées par des exemples

Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:  règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

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