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Soient la fonction f de R dans R définie par
et C la courbe d'équation y = f(x) (C est le graphe de f).
a) En utilisant la définition de la dérivée, calculer f '(0) (et justifier son existence).
b) Calculer f '(x) et f "(x)
c) Déterminer une équation cartésienne de la tangente à C au point d'abscisse - 1.
d) Etablir le tableau des variations de f, f ' et f " contenant
- les racines de f, f ' et f " (pour les valeurs approchées des racines non entières utiliser une décimale).
- les signes de f '(x) et de f "(x)
- les extréma def , les domaines de croissance et de décroissance de f
- les points d'inflexion de f et les domaines de concavité vers le haut et vers le bas de f.
e) Tracer soigneusement la courbe C d'après les résultats du d).
Résolution a) Pour calculer f '(0), nous devons calculer la limite suivante: Vu la valeur absolue, nous calculons séparément les limites à gauche et à droite de 0: Les limites à droite et à gauche de 0 sont toutes deux nulles. Nous en déduisons que: b) Calcul de f ' : On a: f '(0)=0 et Nous pouvons en déduire l'écriture de f '(x): Calcul de f ": Nous pouvons en déduire l'écriture de f "(x): c) Equation de la tangente au graphe de f au point d'abscisse - 1: L'équation de cette tangente est donc: d) racines de f: racines de f ': racines de f ": Résolvons l'équation du second degré: Les racines de f " sont donc: Signe de f ': Signe de f ": Tableau récapitulatif La fonction admet un minimum pour x = 0 qui vaut f(0) = 0 et un maximum pour x = 3 qui vaut La courbe présente deux points d'inflexion: l'un d'abscisse et d'ordonnée l'autre d'abscisse et d'ordonnée e) Tracé de la courbe C Rappels de cours concernant cette question: La fonction exponentielle népérienne définition où e est le nombre de Neper représentation graphique domaine de définition signe limites aux bornes du domaine dérivée propriété La fonction exponentielle népérienne est la réciproque de la fonction logarithme népérien: Valeur absolue d'un réel Dérivabilité d'une fonction Par définition, si existe dans R, cette limite est appelée "nombre dérivé de f en a" et est noté f'(a). On dit alors que f est dérivable en a Par conséquent, si cette limite à gauche de a est différente de la limite à droite de a, alors le nombre dérivé de f en a n'existe pas et la fonction n'est pas dérivable en a. Par contre, si cette limite à gauche de a est égale à cette limite à droite de a, alors f '(a) est égale à cette valeur commune. Equation de la tangente au graphe d'une fonction f au point d'abscisse a Extremum d'une fonction (maximum ou minimum), croissance et décroissance Si la fonction dérivée de f est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, alors la fonction est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur cet intervalle. Les changements de signe de la dérivée indiquent l'existence d'un extremum (minimum ou maximum) Méthode : - calculer la fonction dérivée de f (voir formules des dérivées) - rechercher les racines des facteurs composant f' puis établir son tableau de signe - en déduire les intervalles où f est croissante, décroissante ainsi que les extrema Concavité et points d'inflexion On sait que si la fonction dérivée seconde d'une fonction est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, le graphe de la fonction tourne sa concavité vers le haut (respectivement vers le bas) sur cet intervalle. Méthode : - calculer la fonction dérivée seconde de la fonction (dériver la fonction dérivée au moyen des formules) - rechercher les racines des facteurs composant f'' et établir son tableau de signe - en déduire le sens de la concavité du graphe de la fonction et les points d'inflexion Racines et signe de l'expression du second degré Considérons l'expression du second degré: Calculer le réalisant : 1er cas: Les racines sont : et le tableau de signe : 2ème cas: Le trinôme n'admet qu'une seule racine : et le tableau de signe : 3ème cas: Le trinôme n’admet pas de racine et le trinôme est du signe de a pour toutes les valeurs de x. Formules des dérivées employées dans cette question A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip Cette question résolue (référence : Q84) Le formulaire des dérivées dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions. Les fiches de cours en rapport avec cette question: La fonction du second degré (référence : F2) définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit Dérivée d'une fonction (référence : F4) définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction) Comment étudier le signe d'une expression? (référence F10) Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas. Limite d'une fonction en un réel ou en l'infini (référence F11) Limite en un réel: cas d'une fraction dont le numérateur s'annule et pas le numérateur, cas 0/0 dans le cas d'une fraction de polynômes et dans le cas d'une fraction avec des racines carrées. Limite en l'infini: opérations avec l'infini, limite en l'infini d'un polynôme, d'une fraction de polynômes, d'une fraction contenant des racines carrées, cas "infini - infini" avec des racines carrées. Règle de l'Hospital: conditions et conseils d'application, astuces pour transformer un cas "0.infini" ou "infini - infini" afin d'appliquer l'Hospital. Exemples détaillés de tous ces cas. Cours de soutien scolaire Les news de Techno-science.net [ Accueil | Analyse | Algèbre | Géométrie | Géométrie analytique | Trigonométrie | Glossaire | Recherche | Téléchargement | Contact | Liens ] Hébergement de votre site = 39 euro/an luxpixel.com
a) Pour calculer f '(0), nous devons calculer la limite suivante:
Vu la valeur absolue, nous calculons séparément les limites à gauche et à droite de 0:
Les limites à droite et à gauche de 0 sont toutes deux nulles. Nous en déduisons que:
b) Calcul de f ' :
On a: f '(0)=0 et
Nous pouvons en déduire l'écriture de f '(x):
Calcul de f ":
Nous pouvons en déduire l'écriture de f "(x):
c) Equation de la tangente au graphe de f au point d'abscisse - 1:
L'équation de cette tangente est donc:
d) racines de f:
racines de f ':
racines de f ":
Résolvons l'équation du second degré:
Les racines de f " sont donc:
Signe de f ':
Signe de f ":
Tableau récapitulatif
La fonction admet un minimum pour x = 0 qui vaut f(0) = 0 et un maximum pour x = 3 qui vaut
La courbe présente deux points d'inflexion:
l'un d'abscisse et d'ordonnée
l'autre d'abscisse et d'ordonnée
e) Tracé de la courbe C
La fonction exponentielle népérienne
définition
où e est le nombre de Neper
représentation graphique
domaine de définition
signe
limites aux bornes du domaine
dérivée
propriété
La fonction exponentielle népérienne est la réciproque de la fonction logarithme népérien:
Valeur absolue d'un réel
Dérivabilité d'une fonction
Par définition, si
existe dans R, cette limite est appelée "nombre dérivé de f en a" et est noté f'(a). On dit alors que f est dérivable en a
Par conséquent, si cette limite à gauche de a est différente de la limite à droite de a, alors le nombre dérivé de f en a n'existe pas et la fonction n'est pas dérivable en a.
Par contre, si cette limite à gauche de a est égale à cette limite à droite de a, alors f '(a) est égale à cette valeur commune.
Equation de la tangente au graphe d'une fonction f au point d'abscisse a
Extremum d'une fonction (maximum ou minimum), croissance et décroissance
Si la fonction dérivée de f est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, alors la fonction est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur cet intervalle. Les changements de signe de la dérivée indiquent l'existence d'un extremum (minimum ou maximum)
Méthode :
- calculer la fonction dérivée de f (voir formules des dérivées)
- rechercher les racines des facteurs composant f' puis établir son tableau de signe
- en déduire les intervalles où f est croissante, décroissante ainsi que les extrema
Concavité et points d'inflexion
On sait que si la fonction dérivée seconde d'une fonction est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, le graphe de la fonction tourne sa concavité vers le haut (respectivement vers le bas) sur cet intervalle.
- calculer la fonction dérivée seconde de la fonction (dériver la fonction dérivée au moyen des formules)
- rechercher les racines des facteurs composant f'' et établir son tableau de signe
- en déduire le sens de la concavité du graphe de la fonction et les points d'inflexion
Racines et signe de l'expression du second degré
Considérons l'expression du second degré:
Calculer le réalisant :
Les racines sont :
et le tableau de signe :
Le trinôme n'admet qu'une seule racine :
Le trinôme n’admet pas de racine et le trinôme est du signe de a pour toutes les valeurs de x.
Formules des dérivées employées dans cette question
A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette question résolue (référence : Q84) Le formulaire des dérivées dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions. Les fiches de cours en rapport avec cette question: La fonction du second degré (référence : F2) définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit Dérivée d'une fonction (référence : F4) définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction) Comment étudier le signe d'une expression? (référence F10) Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas. Limite d'une fonction en un réel ou en l'infini (référence F11) Limite en un réel: cas d'une fraction dont le numérateur s'annule et pas le numérateur, cas 0/0 dans le cas d'une fraction de polynômes et dans le cas d'une fraction avec des racines carrées. Limite en l'infini: opérations avec l'infini, limite en l'infini d'un polynôme, d'une fraction de polynômes, d'une fraction contenant des racines carrées, cas "infini - infini" avec des racines carrées. Règle de l'Hospital: conditions et conseils d'application, astuces pour transformer un cas "0.infini" ou "infini - infini" afin d'appliquer l'Hospital. Exemples détaillés de tous ces cas.
Cette question résolue (référence : Q84)
Le formulaire des dérivées dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions.
Les fiches de cours en rapport avec cette question:
La fonction du second degré (référence : F2) définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit Dérivée d'une fonction (référence : F4) définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction) Comment étudier le signe d'une expression? (référence F10) Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas. Limite d'une fonction en un réel ou en l'infini (référence F11) Limite en un réel: cas d'une fraction dont le numérateur s'annule et pas le numérateur, cas 0/0 dans le cas d'une fraction de polynômes et dans le cas d'une fraction avec des racines carrées. Limite en l'infini: opérations avec l'infini, limite en l'infini d'un polynôme, d'une fraction de polynômes, d'une fraction contenant des racines carrées, cas "infini - infini" avec des racines carrées. Règle de l'Hospital: conditions et conseils d'application, astuces pour transformer un cas "0.infini" ou "infini - infini" afin d'appliquer l'Hospital. Exemples détaillés de tous ces cas.
La fonction du second degré (référence : F2) définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit
Dérivée d'une fonction (référence : F4) définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction)
Comment étudier le signe d'une expression? (référence F10) Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas.
Limite d'une fonction en un réel ou en l'infini (référence F11) Limite en un réel: cas d'une fraction dont le numérateur s'annule et pas le numérateur, cas 0/0 dans le cas d'une fraction de polynômes et dans le cas d'une fraction avec des racines carrées. Limite en l'infini: opérations avec l'infini, limite en l'infini d'un polynôme, d'une fraction de polynômes, d'une fraction contenant des racines carrées, cas "infini - infini" avec des racines carrées. Règle de l'Hospital: conditions et conseils d'application, astuces pour transformer un cas "0.infini" ou "infini - infini" afin d'appliquer l'Hospital. Exemples détaillés de tous ces cas.
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