Examen d'admission Université libre de Bruxelles  (Belgique)- Analyse – Question 3 (Juillet 1999)

Enoncé:

Soient la fonction f de R dans R définie par

et C la courbe d'équation y = f(x) (C est le graphe de f).

a) En utilisant la définition de la dérivée, calculer f '(0) (et justifier son existence).

b) Calculer f '(x) et f "(x)

c) Déterminer une équation cartésienne de la tangente à C au point d'abscisse - 1.

d) Etablir le tableau des variations de f, f ' et f " contenant

    - les racines de f, f ' et f " (pour les valeurs approchées des racines non entières utiliser une décimale).

    - les signes de f '(x) et de f "(x)

    - les extréma def , les domaines de croissance et de décroissance de f

    - les points d'inflexion de f et les domaines de concavité vers le haut et vers le bas de f.

e) Tracer soigneusement la courbe C d'après les résultats du d).

Résolution

a) Pour calculer f '(0), nous devons calculer la limite suivante:

Vu la valeur absolue, nous calculons séparément les limites à gauche et à droite de 0:

Les limites à droite et à gauche de 0 sont toutes deux nulles. Nous en déduisons que:

b) Calcul de f ' :

On a: f '(0)=0 et

Nous pouvons en déduire l'écriture de f '(x):

Calcul de f ":

Nous pouvons en déduire l'écriture de f "(x):

c) Equation de la tangente au graphe de f au point d'abscisse - 1:

L'équation de cette tangente est donc:

d) racines de f:

racines de f ':

racines de f ":

Résolvons l'équation du second degré:

Les racines de f " sont donc:

Signe de f ':

Signe de f ":

Tableau récapitulatif

La fonction admet un minimum pour x = 0 qui vaut f(0) = 0 et un maximum pour x = 3 qui vaut

La courbe présente deux points d'inflexion:

    l'un d'abscisse et d'ordonnée

    l'autre d'abscisse et d'ordonnée

e) Tracé de la courbe C

Rappels de cours concernant cette question:

La fonction exponentielle népérienne

• définition

où e est le nombre de Neper

• représentation graphique

• domaine de définition

• signe

• limites aux bornes du domaine

• dérivée

• propriété

La fonction exponentielle népérienne est la réciproque de la fonction logarithme népérien:

Valeur absolue d'un réel

Dérivabilité d'une fonction

Par définition, si

existe dans R, cette limite est appelée "nombre dérivé de f en a"  et est noté f'(a). On dit alors que f est dérivable en a

Par conséquent, si cette limite à gauche de a est différente de la limite à droite de a, alors le nombre dérivé de f en a n'existe pas et la fonction n'est pas dérivable en a.

Par contre, si cette limite à gauche de a est égale à cette limite à droite de a, alors f '(a) est égale à cette valeur commune.

Equation de la tangente au graphe d'une fonction f au point d'abscisse a

Extremum d'une fonction (maximum ou minimum), croissance et décroissance

Si la fonction dérivée de f est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, alors la fonction est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur cet intervalle. Les changements de signe de la dérivée indiquent l'existence d'un extremum (minimum ou maximum)

Méthode :

- calculer la fonction dérivée de f (voir formules des dérivées) 

- rechercher les racines des facteurs composant f' puis établir son tableau de signe

- en déduire les intervalles où f est croissante, décroissante ainsi que les extrema

Concavité et points d'inflexion

On sait que si la fonction dérivée seconde d'une fonction est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, le graphe de la fonction tourne sa concavité vers le haut (respectivement vers le bas) sur cet intervalle.

 Méthode :

- calculer la fonction dérivée seconde de la fonction (dériver la fonction dérivée au moyen des formules)

- rechercher les racines des facteurs composant  f'' et établir son tableau de signe 

- en déduire le sens de la concavité du graphe de la fonction et les points d'inflexion 

Racines et signe de l'expression du second degré

Considérons l'expression du second degré:

Calculer le réalisant : 

1er cas:

Les racines sont :
   

et le tableau de signe : 

2ème cas:

Le trinôme n'admet qu'une seule racine : 

et  le tableau de signe :

3ème cas:

Le trinôme n’admet pas de racine et le trinôme est du signe de a pour toutes les valeurs de x.

Formules des dérivées employées dans cette question