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Examen d'admission Université libre de Bruxelles (Belgique)-
Analyse – Question 2 (Juillet 1999)
Enoncé:
Dans l'espace euclidien R3 muni du repère
orthonormé Oxyz soient
- S la surface plane située dans le plan z = 0 et délimité par les 2
courbes d'équations respectives
- D le solide engendré par la rotation de S autour de l'axe Ox.
a) Faire un croquis de S
b) Calculer l'aire de S
c) Calculer le volume de D
Résolution:
a) Pour représenter S, nous devons d'abord représenter les deux courbes.
| Nous représentons d'abord la fonction:
(en pointillés rouge)
Nous en déduisons le graphe de la fonction:
(en rouge) en ajoutant 1 à l'ordonnée de chaque point
du graphe.
Nous représentons ensuite la fonction:
(en pointillés mauve)
Nous en déduisons le graphe de la fonction:
(en mauve) en ajoutant 9 à l'ordonnée de chaque point
du graphe.
|
|
b) Nous observons que les deux graphiques se coupent aux points
d'abscisse -2 et 2.
Nous pouvons retrouver ce résultat par le calcul en résolvant
l'équation:
L'aire de S est la différence S1-S2 où S1
est bordée par le graphe de la fonction
,
l'axe des abscisses et les droites d'équation x = -2 et x = 2, et S2
est bordée par le graphe de la fonction
,
l'axe des abscisses et les droites d'équation x = -2 et x = 2. Nous avons donc:
Afin de réduire les calculs, nous employons une propriété des
intégrales définies:
(d'unités de surface)
c) Le solide engendré par la rotation de D autour de l'axe des abscisses
est la différence des volumes V1 engendré par la rotation de S1
autour de l'axe et de V2 engendré par la rotation de S2
autour de l'axe:
(d'unités de volume)
Rappels de cours concernant cette
question:
|
Calcul
d'une aire plane |
Si une fonction continue
sur un intervalle ne change pas de signe sur cet intervalle, l'aire de
la partie du plan délimitée par la courbe d'équation y = f(x), l'axe des abscisses,
et les droites d'équation x = a et x = b est donnée par la formule:
|
|
Volume d'un solide de révolution |
Le volume du solide engendré par la rotation autour de l'axe
des abscisses, de la surface limitée par celui-ci, les droites d'équation x
= a et x = b ainsi que par la courbe d'équation y = f(x), est donné par la formule:
|
|
Calcul d'une intégrale
définie |
où F est une primitive de f c’est-à-dire que F‘ = f
|
|
Formule
des primitives employée dans cette question |
à télécharger:
format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette question résolue
(référence : Q83)
Le formulaire des primitives
primitives des fonctions de base et de la composées de ces fonctions,
opérations avec les fonctions - formules de l'intégration par parties - intégration
par changement de variable.
Les fiches de cours en rapport avec cette question:
Intégrale définie d'une fonction
continue sur l'intervalle [a,b]
(référence F3)
définition, propriétés, interprétation graphique, calcul, applications:
calcul d'une aire plane, d'un volume de révolution.
Maîtriser le calcul intégral
pas à pas
(référence F13)
Intégration immédiate, formules et leurs utilisations, comment transformer
astucieusement une expression afin de l'intégrer, intégration par parties,
intégration par substitution, liste de substitutions utiles, quelles formules
employer pour intégrer les fonctions trigonométriques, intégration des fractions
de polynômes, décomposition en fractions simples, calcul des intégrales
définies, les méthodes sont accompagnées de conseils pour aider à choisir
celle qui convient le mieux et illustrées par 47 exemples résolus en détail
et commentés - dossier de 29 pages
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