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Examen d'admission Université Libre de Bruxelles (Belgique)-
Analyse – Question 1 (Juillet 1999)
Enoncé:
Calculer :
| a) |
 |
| b) |
 |
Résolution:
a) Afin de découvrir un lien éventuel entre u(x) et v(x), calculons la dérivée
de v:
Nous constatons alors que:
Et l'intégrale à calculer est donc:
Nous allons calculer cette intégrale par parties en posant:
Appliquons la formule d'intégration par parties (pour la
facilité, nous désignerons par I l'intégrale à calculer):
b) Recherchons d'abord la période de la fonction afin d'appliquer les
propriétés des intégrales définies des fonctions périodiques.
Nous savons que la fonction:
est périodique de période
et par conséquent
que la fonction:
est périodique de période
. Mais vu la
valeur absolue, nous pouvons raisonnablement conjecturer que la période peut
être encore divisée par 2. Vérifions que la période de la fonction donnée est 1:
Appliquons la propriété du sinus des angles
anti-supplémentaires:
Ce qui donne:
La fonction donnée étant périodique, nous pouvons décomposer
l'intégrale définie et appliquer les propriétés:
Nous en déduisons qu'on peut écrire les intégrales définies à
calculer sans valeur absolue:
Recherchons maintenant une primitive de la fonction
c'est-à-dire que nous calculons l'intégrale indéfinie:
Calculons alors l'intégrale définie demandée:
Rappels de cours concernant cette question:
 |
Primitives
d'une fonction |
Si f est une fonction continue sur un intervalle I de réels, alors la fonction
F (définie sur cet intervalle I) est appelée une primitive de f
Si F est une primitive de f sur l'intervalle I, alors toute primitive de f
sur I est de la forme F + k où k est un réel.
L'ensemble des primitives de f se note:
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Intégration par parties |
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Calcul
d'une intégrale définie |
où F est une primitive de f c’est-à-dire que
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Fonction périodique
et intégrale définie |
On dit que la fonction f est une fonction périodique de période p s'il existe
un réel p tel que la fonction vérifie l'égalité suivante, quel que soit x appartenant
au domaine de la fonction:
Si f est une fonction périodique, alors l'intégrale définie de
f sur tout intervalle dont la longueur est la période, est constante, donc
si b - a = d - c = période alors
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Valeur
absolue d'un réel |
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Formules des primitives
employées dans cette question |
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Formules des dérivées
employées dans cette question |
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|
Propriétés
des intégrales définies employées dans cette question |
à télécharger:
format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette question résolue
(référence : Q82)
Le formulaire des primitives
primitives des fonctions de base et de la composées de ces fonctions,
opérations avec les fonctions - formules de l'intégration par parties - intégration
par changement de variable.
Les fiches de cours en rapport avec cette question:
Maîtriser le calcul intégral
pas à pas!
(référence F13)
Intégration immédiate - formules et leurs utilisations - comment transformer
astucieusement une expression afin de l'intégrer - intégration par parties
- intégration par substitution - liste de substitutions utiles - quelles
formules employer pour intégrer les fonctions trigonométriques - intégration
des fractions de polynômes - décomposition en fractions simples -
calcul des intégrales définies - les méthodes sont accompagnées de conseils
pour aider à choisir celle qui convient le mieux et illustrées par 47 exemples
résolus en détail et commentés - dossier de 29 pages
Intégrale définie d'une fonction
continue sur l'intervalle [a,b]
(référence F3)
définition, propriétés, interprétation graphique, calcul, applications:
calcul d'une aire plane, d'un volume de révolution.
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