Etude d'une fonction rationnelle

Examen d'admission Université de Liège (Belgique)- Analyse – Question 2 (Juillet 1998)

Enoncé:

a) Etudier les variations de la fonction

La recherche des asymptotes obliques éventuelles se fera en effectuant la division.

On justifiera les conclusions et on précisera la position du graphe par rapport à ses asymptotes.

b) Discuter selon les valeurs du paramètre réel m le nombre de solutions , comprises entre 0 et , de l'équation

Résolution

a) Etude de la fonction

· Domaine de définition

conditions d'existence :

· Racines et signe

Racines du numérateur:

Calculons le réalisant de cette équation du second degré:

Cette équation n'admet donc pas de solution et la fonction n'a pas de racines.

Le graphe de la fonction ne coupe donc pas l'axe des abscisses.

Signe:

· Asymptotes

Asymptotes verticales

Le graphe de la fonction admet donc une asymptote verticales d'équation x = 1 (à droite vers le haut et à gauche vers le bas).

Asymptotes horizontales

Le graphe de la fonction n'admet donc pas d'asymptote horizontale.

Asymptotes obliques

Remarque: nous pouvons aussi obtenir ce résultat en effectuant la division euclidienne du numérateur par le dénominateur:

Le graphe de la fonction admet donc l'asymptote oblique d'équation y = x car

Position du graphe par rapport à l'asymptote oblique:

Nous devenons étudier le signe de

Si x > 1 alors y(x) - x > 0 donc le graphe se trouve au-dessus de l'asymptote oblique.

Si x < 1 alors y(x) - x < 0 donc le graphe se trouve en dessous de l'asymptote oblique.

· dérivée première

· dérivée seconde

· Tableau récapitulatif

· Graphe

b) Posons

De cette manière, à chaque valeur de comprise entre 0 et , il correspond une et une seule valeur de x comprise entre –1 et 1 (et réciproquement).

L'équation

peut alors s'écrire

Pour déterminer le nombre de solutions de l'équation donnée, il suffit de déterminer le nombre de points d'intersection du graphe de la fonction restreinte à l'intervalle [-1,1[ avec la droite d'équation y = m.

De l'observation du graphe, on déduit:

Si m > -1, l'équation n'admet aucune solution

Si m = -1, l'équation admet une seule solution

Si –1,5 < m < -1, l'équation admet deux solutions

Si m = -1,5, l'équation admet deux solutions

Si m < -1,5, l'équation admet une seule solution.

Rappels de cours concernant cette question:

Domaine de définition d'une fonction

Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des réels x en lesquels la fonction est définie c'est-à-dire l'ensemble des réels x qui ont une image par la fonction.

Méthode: écrire la ou les conditions d’existence de l’expression et les résoudre. L ’ensemble des solutions est le domaine de définition de la fonction

Racines et signe de l'expression du second degré

Considérons l'expression du second degré:

Calculer le réalisant :

1^er cas:

Les racines sont :

et le tableau de signe :

2^ème cas:

Le trinôme n'admet qu'une seule racine :

et le tableau de signe :

3^ème cas:

Le trinôme n’admet pas de racine et le trinôme est du signe de a pour toutes les valeurs de x.

Asymptotes verticales et limites infinies

Le graphe d’une fonction f admet une asymptote verticale d’équation

Si f(x) est une fraction dont le numérateur s'annule pour x = a, mais pas le dénominateur, les limites de f à gauche et à droite en a sont infinies. On détermine le signe en étudiant le signe de la fonction.

Asymptotes horizontales et limites en l'infini

Le graphe d’une fonction f admet une asymptote verticale d’équation :

La limite en l'infini d'une fraction de polynômes est égale à la limite en l'infini du quotient des termes de plus haut degré de ces deux polynômes.

Asymptotes obliques

Le graphe d’une fonction f admet une asymptote oblique d’équation

Dans le cas où la fonction est définie par une fraction de polynôme dont le degré du numérateur surpasse de 1 unité le degré du dénominateur, son graphe admet toujours une asymptote oblique des deux côtés.

Si le graphe de f admet une asymptote oblique d’équation:

on étudie le signe de

Si		alors le graphe est situé au-dessus de l’asymptote oblique.
Si		alors le graphe est situé en dessous de l’asymptote oblique.

Extremum d'une fonction (maximum ou minimum)

Si la fonction dérivée de f est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, alors la fonction est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur cet intervalle. Les changements de signe de la dérivée indiquent l'existence d'un extremum (minimum ou maximum)

Méthode :

- calculer la fonction dérivée de f (voir formules des dérivées)

- rechercher les racines des facteurs composant f' puis établir son tableau de signe

- en déduire les intervalles où f est croissante, décroissante ainsi que les extrema

Formules des dérivées employées dans cette question

Concavité et points d'inflexion

On sait que si la fonction dérivée seconde d'une fonction est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, le graphe de la fonction tourne sa concavité vers le haut (respectivement vers le bas) sur cet intervalle.

Méthode :

- calculer la fonction dérivée seconde de la fonction (dériver la fonction dérivée au moyen des formules)

- rechercher les racines des facteurs composant f'' et établir son tableau de signe

- en déduire le sens de la concavité du graphe de la fonction et les points d'inflexion

à télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip

Cette question résolue (référence : Q8)

Le formulaire des dérivées
dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions.

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du second degré
(référence F2)
définition, représentation graphique, racines, propriétés des racines, signe, factorisation.

Division euclidienne des polynômes
(référence F14)
Définition - description détaillée sur un exemple de la méthode de calcul du quotient et du reste de la division euclidienne d'un polynôme par un polynôme - cas particulier de la division par x - a : loi du reste, divisibilité, méthode de Hörner

Recherche du domaine de définition d'une fonction
(référence F7)
définition, lecture du domaine de définition sur un graphique, méthode de recherche du domaine de définition d'une fonction donnée par son expression analytique, liste des conditions d'existence d'une expression.

Asymptotes du graphe d'une fonction
(référence F12)
Méthodes pour trouver les asymptotes verticales horizontales et obliques au graphe d'une fonction, et étudier la position du graphe par rapport à celles-ci. Exemples variés et détaillés de ces méthodes et illustrations graphiques.

Limite d'une fonction en un réel ou en l'infini
(référence F11)
Limite en un réel: cas d'une fraction dont le numérateur s'annule et pas le numérateur, cas 0/0 dans le cas d'une fraction de polynômes et dans le cas d'une fraction avec des racines carrées. Limite en l'infini: opérations avec l'infini, limite en l'infini d'un polynôme, d'une fraction de polynômes, d'une fraction contenant des racines carrées, cas "infini - infini" avec des racines carrées. Règle de l'Hospital: conditions et conseils d'application, astuces pour transformer un cas "0.infini" ou "infini - infini" afin d'appliquer l'Hospital. Exemples détaillés de tous ces cas.

Comment étudier le signe d'une expression?
(référence F10)
Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas.

Dérivée d'une fonction
(référence F4)
définition, interprétation géométrique, applications : tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction.

Cours de soutien scolaire

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