Examen d'admission Université libre de Bruxelles  (Belgique)- Algèbre – Question 2 (Juillet 1999)

Enoncé:

Résolution

Groupons les termes du premier membre afin de factoriser celui-ci:

Appliquons la règle du produit nul:

Il reste à résoudre la première équation. Transformons d'abord le membre de gauche afin de l'écrire sous la forme a+bi. Pour cela, nous multiplions le numérateur et le dénominateur par i+3:

Nous devons donc rechercher les racines cubiques du membre de gauche. Recherchons la forme trigonométrique de celui-ci.

Son module est:

Calculons son argument:

(n'oublions pas que le complexe se trouve dans le troisième quadrant).

Nous avons donc:

Nous devons donc résoudre:

Posons:

L'équation devient:

On en déduit:

Les solutions sont donc:

On obtient trois solutions différentes pour z en donnant à k les valeurs 0,1 et 2.

Si k = 0:

Si k = 1:

Si k = 2:

Conclusion: l'ensemble des solutions est donc:

Représentation des solutions dans le plan de Gauss

Nommons

Les points d'affixe z₅,z₆ et z₇ sont situés sur le cercle de centre O et de rayon .

Rappels de cours concernant cette question:

Un nombre complexe est un nombre sous la forme a+bi où a et b sont des nombres réels et i , l'unité imaginaire telle que

a est sa partie réelle et b sa partie imaginaire.

si a>0, alors
si a<0, alors

Les racines nèmes du complexe

sont donc de la forme:

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q78)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Les nombres complexes
(référence F17)
Définition d'un nombre complexe, complexe conjugué - égalité de deux nombres complexes - résolution de l'équation du second degré dans les complexes -  représentation géométrique et forme trigonométrique - propriétés (produit, quotient, puissances, formule de Moivre) - racines n^èmes d'un nombre complexe

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