Hébergement de vote site internet: 1,75 € ht par mois
Examen d'admission Université libre de Bruxelles (Belgique)-
Algèbre – Question 2 (Juillet 1999)
Enoncé:
Résoudre dans C:
Représenter les solutions dans le plan de Gauss.
Résolution
Groupons les termes du premier membre afin de factoriser celui-ci:
Appliquons la règle du produit nul:
Il reste à résoudre la première équation. Transformons d'abord
le membre de gauche afin de l'écrire sous la forme a+bi. Pour cela, nous
multiplions le numérateur et le dénominateur par i+3:
Nous devons donc rechercher les racines cubiques du membre de
gauche. Recherchons la forme trigonométrique de celui-ci.
Son module est:
Calculons son argument:
(n'oublions pas que le complexe se trouve dans le troisième
quadrant).
Nous avons donc:
Nous devons donc résoudre:
Posons:
L'équation devient:
On en déduit:
Les solutions sont donc:
On obtient trois solutions différentes pour z en donnant à k les
valeurs 0,1 et 2.
Si k = 0:
Si k = 1:
Si k = 2:
Conclusion: l'ensemble des solutions est donc:
Représentation des solutions dans le
plan de Gauss
Nommons
Les points d'affixe z5,z6 et z7
sont situés sur le cercle de centre O et de rayon
.
Rappels de cours concernant cette question:
|
|
Nombre complexe |
Un nombre complexe est un nombre sous la forme a+bi où a et b sont des nombres
réels et i , l'unité imaginaire telle que
a est sa partie réelle et b sa partie imaginaire.
|
|
Forme trigonométrique
d'un nombre complexe |
Un nombre complexe
s'écrit sous forme trigonométrique
ce qu'on note aussi plus brièvement
dans laquelle le module est
et l'argument se calcule ainsi
ce qui donne
| si a>0, alors |
 |
| si a<0, alors |
 |
|
|
Racines nèmes
d'un nombre complexe |
Considérons un nombre complexe non nul écrit sous sa forme trigonométrique:
Chercher ses racines nèmes, c'est déterminer les complexes
tels que:
c'est-à-dire:
| Les racines nèmes du complexe |
|
sont donc de la forme:
|
Tout complexe non nul possède donc n racines nèmes,
obtenues en donnant à k successivement les valeurs 0, 1, 2, ...., n-1.
A télécharger: format
Microsoft Word compressé au format .zip
Cette question résolue
(référence : Q78)
Les fiches de cours en rapport avec cette question:
Les nombres complexes
(référence F17)
Définition d'un nombre complexe, complexe conjugué - égalité de deux nombres
complexes - résolution de l'équation du second degré dans les complexes
- représentation géométrique et forme trigonométrique - propriétés
(produit, quotient, puissances, formule de Moivre) - racines nèmes
d'un nombre complexe
Hébergement de votre site =
1,75 EUR/mois
luxpixel.com
