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Résoudre dans R3, en discutant par rapport aux paramètres réels a et b, le système:
Reprendre ensuite les résultats de votre discussion dans un tableau récapitulatif.
Pour résoudre ce système, nous utilisons la méthode des déterminants ou méthode de Cramer.
Calcul du déterminant du système:
Remarquons que nous pouvons mettre b en évidence dans la deuxième colonne:
Nous faisons apparaître un zéro dans la première ligne en lui soustrayant la deuxième ligne:
Nous pouvons maintenant mettre le facteur a-1 en évidence dans la première ligne:
Nous faisons apparaître un zéro dans la première colonne en lui ajoutant la deuxième colonne:
Nous pouvons calculer le déterminant en développant suivant la première ligne:
Factorisons le facteur du second degré. Pour cela, nous calculons ses racines:
Nous avons donc:
Et le déterminant factorisé est:
Discussion du système
| 1er cas: |  |
Calcul de x:
Calcul du déterminant:
Ici aussi nous pouvons mettre b en évidence dans la deuxième colonne:
Faisons apparaître des zéros dans la première ligne en lui soustrayant la troisième:
Calculons ce déterminant en développant par rapport à la première ligne:
D'où:
Calcul de y:
Calcul du déterminant:
Faisons apparaître des zéros dans la première en lui soustrayant la troisième:
Nous pouvons maintenant mettre en évidence le facteur a-1 dans la première ligne:
Faisons apparaître un deuxième zéro dans la première ligne en ajoutant la troisième colonne à la première colonne:
Calculons ce déterminant en développant par rapport à la première ligne:
D'où:
Calcul de z:
Calcul du déterminant:
Mettons b en évidence dans la deuxième colonne:
Faisons apparaître des zéros dans la première ligne en lui soustrayant la troisième:
Calculons le déterminant en le développant par rapport à la première ligne:
D'où:
La solution du système est donc le triplet unique (x, y, z).
| 2ème cas: |  |
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Le système donné devient:
Exprimons x en fonction de z dans la deuxième équation et remplaçons-le dans les autres équations:
En comparant la première et la troisième équation, nous constatons que ce système est impossible, quelle que soit la valeur de a.
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Le système devient:
En comparant les équations, nous constatons que nous devons envisager deux cas:
si
le système est impossible et
si
Les trois équations du système sont équivalentes :
Le système est doublement indéterminé et l'ensemble des solutions est:
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Le système devient:
Ajoutons à la première équation les deux autres:
En observant la première équation, nous observons que nous devons envisager deux cas:
si
le système est impossible et
si
Le système devient:
Multiplions la troisième équation par 2 et additionnons-la à la deuxième:
Le système est simplement indéterminé et l'ensemble des solutions est:
Tableau résumé de la discussion
| Si |  |
alors |
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| Si |
|
alors |
|
| Si |
|
alors |
|
| dans les autres cas: |
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Résolution d'un système linéaire de n équations à n inconnues en utilisant les déterminants |
La méthode des déterminants est particulièrement efficace pour résoudre des systèmes linéaires de n équations à n inconnues avec coefficients paramétriques mais peut aussi bien sûr s'utiliser dans le cas de coefficients numériques.
La méthode décrite ci-dessous résout un système de 3 équations linéaires à 3 inconnues mais peut se généraliser pour un système de n équations linéaires à n inconnues.
Considérons le système suivant:
Calculer de déterminant D du système:
| 1er cas: |
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Calculer Nx, le déterminant obtenu en remplaçant dans le déterminant du système la 1ère colonne par celle des termes indépendants:
Calculer de façon similaire Ny et Nz:
Le système admet une solution unique, le triplet:
| 2ème cas: |
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Dans ce cas, le système est impossible ou indéterminé. Le résoudre par les méthodes classiques de substitution ou d'addition.
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Calcul du déterminant d'une matrice |
Déterminant 2x2 (définition)
Déterminant 3x3
Considérons une matrice c'est-à-dire un tableau de nombres (réels ou complexes), composée de 3 lignes et de 3 colonnes.
Définitions préalables
Le mineur d'un élément aij, noté Mij est le déterminant obtenu en supprimant la ligne i et la colonne j (ligne et colonne dans lesquelles se trouve l'élément aij) dans le tableau donné.
Exemple: le mineur de l'élément a23 est:
Le cofacteur d'un élément aij, noté Aij est donné par la formule:
La somme des produits des élément d'une rangée (ligne ou colonne) par leur cofacteur respectif est une constante. Cette constante est appelée déterminant de la matrice.
On aura donc par exemple, si nous développons suivant la deuxième ligne :
Remarque: pour calculer le déterminant, la ligne ou la colonne suivant laquelle nous développons est laissée à notre choix. Nous pouvons donc choisir celle qui contient le plus d'éléments nuls (s'il y en a) ou en faire apparaître à l'aide des propriétés suivantes.
Lorsqu'on multiplie les éléments d'une rangée (ligne ou colonne) par un facteur commun, le déterminant est multiplié par ce facteur.
Conséquence: on peut mettre en évidence un facteur commun à tous les éléments d'une ligne ou colonne.
Lorsqu'on ajoute à une rangée une combinaison linéaire (somme de multiples) des rangées parallèles, la valeur du déterminant ne change pas
En pratique: On emploie cette propriété pour faire apparaître des éléments nuls dans la matrice et ainsi faciliter le calcul du déterminant (voir remarque ci-dessus).
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Racines et signe de l'expression du second degré |
Considérons l'expression du second degré:
Calculer le réalisant :
| 1er cas: |  |
Les racines sont :
et le tableau de signe :
| 2ème cas: |  |
Le trinôme n'admet qu'une seule racine :
et le tableau de signe :
| 3ème cas: |  |
Le trinôme n’admet pas de racine et le trinôme est du signe de a pour toutes les valeurs de x.
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Factorisation de l'expression du second degré |
- si r > 0, alors l'expression admet 2 racines x1 et x2 (voir ci-dessus) et
- si r = 0, alors l'expression admet 1 racine x1et
- si r < 0, alors l'expression n'admet pas de racine et ne se factorise pas.
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Principes d'équivalence des systèmes d'équations |
1. Méthode de substitution
Si on remplace dans une équation d’un système, l’une des inconnues par l’expression obtenue en isolant cette inconnue dans une autre équation, le système obtenu admet les mêmes solutions que le système initial.
2. Méthode des combinaisons
Si on ajoute à une équation d’un système un multiple d’une autre équation du système, le système obtenu admet les mêmes solutions que le système initial.
A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette question résolue
(référence : Q77)Les fiches de cours en rapport avec cette question:
La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produitRésolution d'un système de 2 équations du 1er degré
(référence F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométriqueCalcul du déterminant d'une matrice
(référence F19)
Déterminant 2x2 (définition) - Déterminant 3x3 (mineur et cofacteur d'un élément d'une matrice - définition du déterminant - propriété permettant de faciliter le calcul d'un déterminant - illustration par des exemplesRésolution d'un système linéaire n x n par la méthode des déterminants
(référence F20)
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