Enoncé:

Etudier la fonction

a) Ensembles de définition, de continuité, de dérivabilité.

b) Asymptotes et position du graphe par rapport à celles-ci.

c) Calcul de f ' et signe de f '.

d) Tableau récapitulatif des variations de f et f '.

e) Graphique de f et asymptotes (dessiner la ou les tangente(s) au graphe aux points x = -1 et x = 2).

Résolution

a) Ensembles de définition, de continuité, de dérivabilité.

·         Ensemble de définition

Il n'y a pas de condition d'existence :

·         Ensemble de continuité

La fonction est continue sur son domaine de définition car elle est la composée de deux fonctions continues sur leur domaine de définition.

Ensemble de dérivabilité

La fonction racine cubique est dérivable en tout réel non nul. La fonction donnée n'est donc pas dérivable en les valeurs x telles que:

Résolvons cette équation:

Si nous remplaçons x par 2 dans l'équation, nous constatons que 2 est une solution. Nous pouvons en déduire que le membre de gauche est divisible par x - 2. Calculons le quotient en utilisant la méthode de Horner:

Le quotient de la division par x - 2 est donc:

Et l'équation peut s'écrire sous la forme:

L'équation admet comme solution les valeurs 2 et -1. Ce sont les réels en lesquels la fonction n'est pas dérivable.

b) Asymptotes et position du graphe par rapport à celles-ci.

Asymptotes verticales

Le graphe n'admet pas d'asymptote verticale étant donné que le domaine de définition de f est R.

Asymptotes horizontales

Nous devons calculer:

Calculons d'abord la limite en l'infini du polynôme:

Nous en déduisons:

Le limites n'étant pas réelles, le graphe n'admet pas d'asymptote horizontale.

Asymptotes horizontales

1) calculons le coefficient directeur de l'asymptote éventuelle:

Le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers l'infini. Il s'agit donc d'un cas d'indétermination. Nous allons mettre x³ en évidence sous la racine cubique afin de simplifier par x cette fraction:

2) calculons l'ordonnée à l'origine de l'asymptote oblique:

Pour lever cette indétermination, nous posons

dans la formule:

(nous multiplions et nous divisons l'expression par le deuxième facteur de la formule ci-dessus)

Le numérateur et le dénominateur de cette expression tendent tous deux vers l'infini lorsque x tend vers l'infini. Pour lever l'indétermination, nous mettons x en évidence au numérateur et pour le dénominateur, nous mettons x³ en évidence sous les racines cubiques. Ensuite nous simplifions la fraction obtenue.

Calculons maintenant la limite:

Le graphe admet donc pour asymptote oblique la droite d'équation:

3) étudions la position du graphe par rapport à l'asymptote oblique:

Pour cela, nous devons étudier le signe de la différence des ordonnées du graphe et de l'asymptote, soit le signe de f(x) - x.

Cette expression à été calculée ci-dessus:

Pour des valeurs de x tendant vers plus ou moins l'infini, le dénominateur est une somme de trois termes positifs (le deuxième terme est un produit de deux termes de même signe).

Le signe du numérateur est le suivant:

Par conséquent, pour des valeurs de x tendant vers l'infini,

le numérateur est négatif, donc f(x)-x est négatif si x est suffisamment grand

le numérateur est positif, donc f(x)-x est positif si x est suffisamment petit

On en déduit que le graphe de f est situé en dessous l'asymptote oblique pour x tendant vers + l'infini et que le graphe de f est situé au-dessus de l'asymptote oblique pour x tendant vers - l'infini.

c) calcul de f ' et signe de f '.

Ecrivons d'abord la racine cubique sous forme d'une puissance, puis appliquons les formules de dérivation. Ensuite nous écrivons l'expression obtenue à l'aide de racines cubiques.

Les racines du numérateur sont 1 et -1, celles du dénominateur sont les racines de f c'est à dire -1 et 2.

Le tableau de signe de f ' est le suivant:

d) Tableau récapitulatif des variations de f et f '.

La fonction admet un maximum local en -1 qui vaut 0 et un minimum local en 1 qui vaut .

e) Graphique de f et asymptotes (dessiner la ou les tangente(s) au graphe aux points x = -1 et x = 2).

La fonction étant non dérivable en -1 et 2, pour déterminer les tangentes en ces abscisses nous devons calculer la limite de la dérivée (éventuellement à droite et à gauche en ces valeurs).

Tangente(s) au point d'abscisse -1:

Pour lever cette indétermination, nous devons mettre en évidence le facteur (x-1) au numérateur et au dénominateur et simplifier l'expression obtenue:

Les limites de la dérivée en -1 à gauche et à droite sont infinies. Déterminons leur signe:

Nous en déduisons que les tangentes au point d'abscisse -1 sont parallèles à l'axe des ordonnées. Elles sont donc confondues.

Tangente(s) au point d'abscisse 2:

La tangente au point d'abscisse 2 est donc également parallèle à l'axe des ordonnées.

Voici donc le graphe de la fonction étudiée, son asymptote oblique (en bleu) et les tangentes aux points d'abscisse -1 et 2 (en vert):

Rappels de cours concernant cette question:

Racine cubique d'un réel

x est la racine cubique du réel a si et seulement si

Elle est notée:

et est définie pour tout réel a.

Ecriture des radicaux sous forme d'une puissance

Si x est un réel strictement positif, n un naturel et p un naturel supérieur ou égal à 2:

et

Domaine de définition d'une fonction

Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des réels x en lesquels la fonction est définie c'est-à-dire l'ensemble des réels x qui ont une image par la fonction.

Méthode: écrire la ou les conditions d’existence de l’expression et les résoudre.    L ’ensemble des solutions est le domaine de définition de la fonction

Domaine de continuité d'une fonction

la fonction f est continue en le réel a

Le domaine de continuité d'une fonction est l'ensemble des réels en lesquels la fonction est continue.

Les fonctions usuelles sont continues sur leur domaine de définition (fonction constante, identique, valeur absolue, inverse de x, puissance de x, racine nème de x, fonction sinus, cosinus, tangente, cotangent, exponentielles, logarithmes, arcsinus, arccosinus, arctangente, arccotangente).

Toute fonction qui peut s'écrire comme une somme, un produit, un quotient ou une composée de fonctions continues sur leur domaine de définition est une fonction continue sur son domaine de définition.

Domaine de dérivabilité d'une fonction

Par définition, si

existe dans R, cette limite est appelée "nombre dérivé de f en a"  et est noté f'(a). On dit alors que f est dérivable en a

Le domaine de dérivabilité d'une fonction est l'ensemble des réels en lesquels f est dérivable c'est-à-dire l'ensemble des réels en lesquels le nombre dérivé de f en a existe dans R.

Par conséquent, si cette limite à gauche de a est différente de la limite à droite de a, alors le nombre dérivé de f en a n'existe pas et la fonction n'est pas dérivable en a. Il en va de même si cette limite est infinie.

Division d'un polynôme par x - a

Condition de divisibilité d'un polynôme par x - a

Calcul du quotient et du reste par la méthode de Horner

La méthode de Horner est une disposition pratique permettant d'obtenir le quotient et le reste très rapidement.

Nous allons l'expliquer avec

et le diviseur

Nous construisons le tableau suivant:

La première ligne contient les coefficient de P(x) écrits dans l'ordre des puissances décroissantes de x (tous les coefficients doivent être inscrits, même les coefficients nuls). Sur la seconde ligne nous inscrivons la valeur de a dans le diviseur x-a.

Abaissons d'abord le premier coefficient de P(x) dans la troisième ligne:

Celui-ci est multiplié par a et inscrit dans la deuxième ligne en-dessous du deuxième coefficient de P(x) et additionné à celui-ci. On inscrit le résultat dans la troisième ligne:

On recommence ces étapes avec ce nouveau résultat (le coefficient est multiplié par a et inscrit sous le troisième coefficient de P(x) puis additionné à celui-ci):

Et ainsi de suite jusqu'à ce que la grille soit remplie:

La dernière ligne donne les coefficients du quotient et le reste.

Asymptotes verticales et limites infinies

Le graphe d’une fonction f admet une asymptote verticale d’équation

On calculera donc la limite de la fonction en les réels n'appartenant pas au domaine de la fonction mais qui lui sont adhérents.

Asymptotes horizontales et limites en l'infini

Le graphe d’une fonction f admet une asymptote verticale d’équation :

La limite en l'infini d'un polynôme est égale à la limite en l'infini du terme de plus haut degré du polynôme.

Asymptotes obliques

Le graphe d’une fonction f admet une asymptote oblique d’équation

Si le graphe de f admet une asymptote oblique d’équation:

on étudie le signe de

Si		alors le graphe est situé au-dessus de l’asymptote oblique.
Si		alors le graphe est situé en dessous de l’asymptote oblique.

Calcul des limites en l'infini

Remplacer la variable x par l'infini en respectant les règles suivantes (sauf les cas d'indétermination qu'il faut traiter par la méthode adéquate):
- additionner l'infini à un réel donne l'infini avec conservation de son signe
- additionner l'infini avec l'infini de même signe donne l'infini doté de ce signe
- additionner l'infini avec l'infini de signe contraire est un cas d'indétermination
(rappelons aussi que soustraire, c'est ajouter l'opposé)
- multiplier l'infini par un réel non nul donne l'infini : le signe est déterminé par la règle des signes
- multiplier l'infini par l'infini donne l'infini : le signe est déterminé par la règle des signes
- multiplier l'infini par 0 est un cas d'indétermination
- diviser un réel par l'infini donne 0
- diviser l'infini par l'infini est un cas d'indétermination

Calcul de la limite d'une fraction en un réel a

Si f(x) est une fraction dont le dénominateur s'annule pour x = a, mais pas le numérateur, les limites de f à gauche et à droite en a sont infinies. On détermine le signe en étudiant le signe de la fonction.

Si f(x) est une fraction dont le numérateur et le dénominateur s'annulent tous deux pour x = a, on lève l'indétermination en utilisant le théorème de l'Hospital. Dans le cas d'une fraction de polynômes, on peut aussi diviser le numérateur et le dénominateur par x-a puis calculer la limite en a de la fraction simplifiée obtenue.

Extremum d'une fonction (maximum ou minimum), croissance et décroissance

Si la fonction dérivée de f est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, alors la fonction est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur cet intervalle. Les changements de signe de la dérivée indiquent l'existence d'un extremum (minimum ou maximum)

Méthode :

- calculer la fonction dérivée de f (voir formules des dérivées) 

- rechercher les racines des facteurs composant f' puis établir son tableau de signe

- en déduire les intervalles où f est croissante, décroissante ainsi que les extrema

Equation de la tangente au graphe d'une fonction f au point d'abscisse a

Dans le cas où f n'est pas dérivable en a, on calcule la limite en a (éventuellement à gauche et à droite) de la dérivée. Si l'on obtient l'infini, la tangente au graphe au point d'abscisse a est parallèle à l'axe des ordonnées.

Formules des dérivées employées dans cette question