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Examen d'admission Université de Liège (Belgique)- Analyse – Question 1 (Septembre 1999)

Enoncé:

a) Rechercher l'ensemble de définition de la fonction

b) Calculer F(x)

c) En déduire la valeur de

Résolution

a) condition d'existence:

L'ensemble de définition de la fonction F est:

b) Posons :

Isolons x afin de calculer dx:

Effectuons la substitution:

Décomposons la fonction obtenue en une somme de fractions simples c'est-à-dire cherchons les réels a et b tels que:

Réduisons la somme des fractions au même dénominateur et rassemblons les termes semblables:

La fraction obtenue étant égale à celle de départ, nous identifions les coefficients des termes du numérateur:

L'intégrale à  calculer est donc:

 

Remplaçons t par sa valeur:

c) Par définition:

Calculons d'abord l'intégrale définie:

Il reste à calculer la limite en + l'infini:

Rappels de cours concernant cette question:

 Domaine de définition d'une fonction

Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des réels x en lesquels la fonction est définie c'est-à-dire l'ensemble des réels x qui ont une image par la fonction.

Méthode: écrire la ou les conditions d’existence de l’expression et les résoudre.   L’ensemble des solutions est le domaine de définition de la fonction

 Intégration par substitution

Pour calculer

on peut poser:

avec

 

 Décomposition en fractions simples

Pour intégrer les fractions de polynômes dont le degré du numérateur est strictement inférieur au degré du dénominateur, on décompose celles-ci en une somme de fractions simples.


Pour cela :

a. Factoriser le dénominateur en polynômes du type

 

 et

 

de sorte que ces derniers ne soient pas décomposables en facteurs du premier degré donc avec la condition que

(Cette décomposition existe et est unique).


b. Ecrire la fraction donnée sous la somme de fractions simples de la manière suivante:

Pour chaque facteur du dénominateur du type

il correspond la somme de n fractions simples:

Pour chaque facteur du dénominateur du type

il correspond la somme de fractions simples


c. Réduire la somme des fractions obtenues au même dénominateur et rassembler au numérateur les termes semblables afin d’obtenir un polynôme en la variable donnée.


d. Identifier les coefficients respectifs de même puissance dans la fraction donnée et dans la fraction obtenue. Cela conduit à système d’équations linéaires.


e. Résoudre ce système. On obtient ainsi les coefficients des fractions simples.


f. Intégrer la somme des fractions simples.
 

 Calcul d'une intégrale définie

 
où F est une primitive de f c’est-à-dire que

 Calcul des limites en l'infini

Remplacer la variable x par l'infini en respectant les règles suivantes (sauf les cas d'indétermination qu'il faut traiter par la méthode adéquate):
- additionner l'infini à un réel donne l'infini avec conservation de son signe
- additionner l'infini avec l'infini de même signe donne l'infini doté de ce signe
- additionner l'infini avec l'infini de signe contraire est un cas d'indétermination
(rappelons aussi que soustraire, c'est ajouter l'opposé)
- multiplier l'infini par un réel non nul donne l'infini : le signe est déterminé par la règle des signes
- multiplier l'infini par l'infini donne l'infini : le signe est déterminé par la règle des signes
- multiplier l'infini par 0 est un cas d'indétermination
- diviser un réel par l'infini donne 0
- diviser l'infini par l'infini est un cas d'indétermination

 Rappels sur les logarithmes népériens

 Formule des dérivées employées dans cette question



 Formules des primitives employées dans cette question


 

à télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip 

Cette question résolue (référence : Q75)

Le formulaire des dérivées
dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions.

Le formulaire des primitives
primitives des fonctions de base  et de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions - formules de l'intégration par parties - intégration par changement de variable.

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Intégrale définie d'une fonction continue sur un intervalle
(référence : F3) 
définition, calcul, propriétés, interprétation géométrique, applications (calcul d'une aire plane, d'un volume de révolution)

Recherche du domaine de définition d'une fonction
(référence F7)
définition, lecture du domaine de définition sur un graphique, méthode de recherche du domaine de définition d'une fonction donnée par son expression analytique, liste des conditions d'existence d'une expression.

Limite d'une fonction en un réel ou en l'infini
(référence F11)
Limite en un réel: cas d'une fraction dont le numérateur s'annule et pas le numérateur, cas 0/0 dans le cas d'une fraction de polynômes et dans le cas d'une fraction avec des racines carrées. Limite en l'infini: opérations avec l'infini, limite en l'infini d'un polynôme, d'une fraction de polynômes, d'une fraction contenant des racines carrées, cas "infini - infini" avec des racines carrées. Règle de l'Hospital: conditions et conseils d'application, astuces pour transformer un cas "0.infini" ou "infini - infini" afin d'appliquer l'Hospital. Exemples détaillés de tous ces cas.

Maîtriser le calcul intégral pas à pas
(référence F13)
Intégration immédiate, formules et leurs utilisations, comment transformer astucieusement une expression afin de l'intégrer, intégration par parties, intégration par substitution, liste de substitutions utiles, quelles formules employer pour intégrer les fonctions trigonométriques, intégration des fractions de polynômes, décomposition en fractions simples, calcul des intégrales définies, les méthodes sont accompagnées de conseils pour aider à choisir celle qui convient le mieux et illustrées par 47 exemples résolus en détail et commentés - dossier de 29 pages

Les fonctions logarithmes
(référence F15)
fonction logarithme népérien: définition, représentation graphique, propriétés de la fonction (domaine de définition, croissance, limites aux bornes du domaine, dérivée), règle de calcul - fonctions logarithmes en base a quelconque:  définition, représentation graphique, propriétés de la fonction (domaine de définition, croissance, limites aux bornes du domaine, dérivée), règle de calcul, propriété (lien avec exponentielle népérienne)

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