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Calculer les racines carrées de
Nous devons donc rechercher les complexes z tels que
Posons:
Nous cherchons donc les réels x et y tels que:
Isolons x dans la deuxième équation et remplaçons-le dans la première:
La première équation ne contient plus que l'inconnue y. Résolvons cette équation. Pour cela, nous multiplions les deux membres par y2 (car y est non nul) puis nous regroupons tous les termes dans un membre:
L'équation obtenue est une équation bicarrée. Nous la ramenons au second degré en posant:
Résolvons cette équation:
Nous en déduisons les valeurs de y:
(y étant un réel, la deuxième équation n'a pas de solution)
Réécrivons le système:
Nous calculons x en remplaçant y dans la deuxième équation:
Conclusion: les racines carrées de
sont:
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Nombre complexe |
Un nombre complexe est un nombre sous la forme a+bi où a et b sont des nombres réels et i , l'unité imaginaire telle que
a est sa partie réelle et b sa partie imaginaire.
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Calcul des racines carrées d'un nombre complexe |
Rechercher les racines carrées du complexe a+bi revient à rechercher les réels x et y tels que
Il suffit donc de résoudre ce système en x et y, sans perdre de vue que x et y sont des réels.
A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette question résolue
(référence : Q74)Les fiches de cours en rapport avec cette question:
Les nombres complexes
(référence F17)
Définition d'un nombre complexe, complexe conjugué - égalité de deux nombres complexes - résolution de l'équation du second degré dans les complexes - calcul des racines carrées d'un nombre complexe - représentation géométrique et forme trigonométrique - propriétés (produit, quotient, puissances, formule de Moivre) - racines nèmes d'un nombre complexeLes équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation: règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.
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