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Examen d'admission Université
de Liège (Belgique)- Algèbre – Question 3 (Septembre 1999)
Enoncé:
Calculer les racines carrées de
Résolution
Nous devons donc rechercher les complexes z tels que
Posons:
Nous cherchons donc les réels x et y tels que:
Isolons x dans la deuxième équation et remplaçons-le dans la
première:
La première équation ne contient plus que l'inconnue y.
Résolvons cette équation. Pour cela, nous multiplions les deux membres par y2
(car y est non nul) puis nous regroupons tous les termes dans un membre:
L'équation obtenue est une équation bicarrée. Nous la ramenons
au second degré en posant:
Résolvons cette équation:
Nous en déduisons les valeurs de y:
(y étant un réel, la deuxième équation n'a pas de solution)
Réécrivons le système:
Nous calculons x en remplaçant y dans la deuxième équation:
Conclusion: les racines carrées de
sont:
Rappels de cours concernant cette question:
|
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Nombre
complexe |
Un nombre complexe est un nombre sous la forme a+bi où a et b sont des nombres
réels et i , l'unité imaginaire telle que
a est sa partie réelle et b sa partie imaginaire.
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Calcul
des racines carrées d'un nombre complexe |
Rechercher les racines carrées du complexe a+bi revient à
rechercher les réels x et y tels que
Il suffit donc de résoudre ce système en x et y, sans perdre de
vue que x et y sont des réels.
A
télécharger:
format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette
question résolue
(référence : Q74)
Les
fiches de cours en rapport avec cette question:
Les nombres complexes
(référence F17)
Définition d'un nombre complexe, complexe conjugué - égalité de deux
nombres complexes - résolution de l'équation du second degré dans les complexes
- calcul des racines carrées d'un nombre complexe - représentation géométrique
et forme trigonométrique - propriétés (produit, quotient, puissances, formule de
Moivre) - racines nèmes d'un nombre complexe
Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les
équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:
règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes
d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les
équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.
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