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Examen d'admission Université de Liège  (Belgique)- Algèbre – Question 2 (Septembre 1999)

Enoncé:

Résoudre le système

où a désigne un paramètre réel.

Résolution

Tout d'abord, écrivons chaque équation sous la forme ax+by+cz=d:

Pour résoudre ce système, nous utilisons la méthode des déterminants ou méthode de Cramer.

Calcul du déterminant du système:

Pour cela, nous faisons apparaître des zéros dans la troisième ligne en lui soustrayant la première et la deuxième ligne:

Nous pouvons calculer le déterminant en développant suivant la troisième ligne:

Discussion du système

1er cas:

Calcul de x:

Calcul du déterminant:

Faisons apparaître des zéros dans la troisième ligne en lui soustrayant deux fois la première ligne:

Calculons ce déterminant en développant par rapport à la troisième ligne:

D'où:

Calcul de y:

Calcul du déterminant:

Faisons apparaître des zéros dans la troisième ligne en lui soustrayant la première et la deuxième ligne:

Calculons ce déterminant en développant par rapport à la troisième ligne:

D'où:

Calcul de z:

Calcul du déterminant:

Faisons apparaître deux zéros dans la troisième ligne en lui soustrayant deux fois la première:

Calculons le déterminant en le développant par rapport à la troisième ligne:

D'où:

La solution du système est donc le triplet unique (x, y, z).

2ème cas:

Le système donné devient:

Nous observons que la première et la troisième équations sont équivalentes. Le système est donc équivalent au système de 2 équations à 3 inconnues suivant:

Exprimons y et z en fonction de x. Pour cela, nous sommes ramenés à résoudre le système en y et z:

Additionnons la première équation à la deuxième:

Remplaçons z dans la première équation et isolons y:

L'ensemble des solutions est donc:

Le système donné devient:

Additionnons la deuxième équation à la première:

En comparant la première et la troisième équation, on voit immédiatement que le système est impossible et donc que l'ensemble des solutions s'écrit:

Résumé de la discussion

Si     alors  
Si

 alors 

Si

 alors

Rappels de cours concernant cette question:

Résolution d'un système linéaire de n équations à n inconnues en utilisant les déterminants

La méthode des déterminants est particulièrement efficace pour résoudre des systèmes linéaires de n équations à n inconnues avec coefficients paramétriques mais peut aussi bien sûr s'utiliser dans le cas de coefficients numériques.

La méthode décrite ci-dessous résout un système de 3 équations linéaires à 3 inconnues mais peut se généraliser pour un système de n équations linéaires à n inconnues.

Considérons le système suivant:

 

Calculer de déterminant D du système:

1er cas:

Calculer Nx, le déterminant obtenu en remplaçant dans le déterminant du système la 1ère colonne par celle des termes indépendants:

Calculer de façon similaire Ny et Nz:

Le système admet une solution unique, le triplet:

2ème cas:

Dans ce cas, le système est impossible ou indéterminé. Le résoudre par les méthodes classiques de substitution ou d'addition.

Calcul du déterminant d'une matrice

       Déterminant 2x2 (définition)

 

       Déterminant 3x3

Considérons une matrice c'est-à-dire un tableau de nombres (réels ou complexes), composée de 3 lignes et de 3 colonnes.

Définitions préalables

Le mineur d'un élément aij, noté Mij est le déterminant obtenu en supprimant la ligne i et la colonne j (ligne et colonne dans lesquelles se trouve l'élément aij) dans le tableau donné.

Exemple: le mineur de l'élément a23 est:

Le cofacteur d'un élément aij, noté Aij est donné par la formule:

Propriété préalable à la définition de déterminant

La somme des produits des élément d'une rangée (ligne ou colonne) par leur cofacteur respectif est une constante. Cette constante est appelée déterminant de la matrice. 

On aura donc par exemple, si nous développons suivant la deuxième ligne :

 

Remarque: pour calculer le déterminant, la ligne ou la colonne suivant laquelle nous développons est laissée à notre choix. Nous pouvons donc choisir celle qui contient le plus d'éléments nuls (s'il y en a) ou en faire apparaître à l'aide des propriétés suivantes.

Propriétés facilitant le calcul d'un déterminant

Lorsqu'on multiplie les éléments d'une rangée (ligne ou colonne) par un facteur commun, le déterminant est multiplié par ce facteur.

Conséquence: on peut mettre en évidence un facteur commun à tous les éléments d'une ligne ou colonne.

Lorsqu'on ajoute à une rangée une combinaison linéaire (somme de multiples) des rangées parallèles, la valeur du déterminant ne change pas

En pratique: On emploie cette propriété pour faire apparaître des éléments nuls dans la matrice et ainsi faciliter le calcul du déterminant (voir remarque ci-dessus).

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q73)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Calcul du déterminant d'une matrice
(référence F19)
Déterminant 2x2 (définition) - Déterminant 3x3 (mineur et cofacteur d'un élément d'une matrice - définition du déterminant - propriété permettant de faciliter le calcul d'un déterminant - illustration par des exemples

Résolution d'un système linéaire n x n par la méthode des déterminant
(référence F20)

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