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Déterminer les valeurs de m pour lesquelles le trinôme
possède deux racines réelles de même signe
Ce polynôme doit admettre deux racines réelles, il doit donc être du second degré. Nous avons donc une première condition:
Un trinôme du second degré admet deux racines réelles (distinctes) si et seulement si son réalisant est strictement positif:
Etudions le signe de l'expression (les racines sont 0 et -4/3):
Nous en déduisons que pour que le trinôme admette deux racines réelles, m doit vérifier la condition:
Il reste à exprimer que les deux racines ont le même signe, ce qui équivaut à ce que leur produit soit positif. Nous utilisons la propriété du produit des racines d'un trinôme du second degré, et la condition est donc:
Etudions le signe de cette expression (la racine du numérateur est -1 et celle du dénominateur est 0):
Nous en déduisons que pour que les deux racines aient le même signe, m doit vérifier la condition:
En conclusion, pour que le trinôme admette deux racines de même signe, toutes les conditions ci-dessus doivent être vérifiées, et le sont pour les valeurs de m telles que:
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Racines et signe de l'expression du second degré |
Considérons l'expression du second degré:
Calculer le réalisant :
| 1er cas: |  |
Les racines sont :
et le tableau de signe :
| 2ème cas: |  |
Le trinôme n'admet qu'une seule racine :
et le tableau de signe :
| 3ème cas: |  |
Le trinôme n’admet pas de racine et le trinôme est du signe de a pour toutes les valeurs de x.
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Propriétés de la somme et du produit des racines d'une expression du second degré |
Dans le cas où l'expression du second degré
admet deux racines x1 et x2, leur somme est :
et leur produit est:
A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette question résolue
(référence : Q72)Les fiches de cours en rapport avec cette question:
La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produitComment étudier le signe d'une expression?
(référence F10)
Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas.
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