Enoncé:

Résolution

a) Ensembles de définition, de continuité, de dérivabilité.

·         Ensemble de définition

conditions d'existence :

·         Ensemble de continuité

La fonction est continue sur son domaine de définition car elle est la somme de deux fonctions continues sur leur domaine de définition.

Ensemble de dérivabilité

La fonction valeur absolue est dérivable en tout réel non nul.

b) Limites des valeurs de f aux extrémités des intervalles de définition.

limites en l'infini

limite en -1

Nous en déduisons que les limites à gauche et à droite en - 1 sont infinies:

c) Asymptotes et position du graphe par rapport à celles-ci.

Asymptotes verticales

- 1 est le seul réel adhérent à dom f qui ne lui appartienne pas. Les limites à gauche et à droite de f sont infinies. Cela signifie que le graphe de f admet une asymptote verticale d'équation x = -1, à gauche vers le bas et à droite vers le haut.

         Asymptotes horizontales

Les limites en l'infini sont infinies donc le graphe de f n'admet pas d'asymptote horizontale.

Asymptotes obliques

 Nous avons que:

Asymptote oblique à droite:

Car

De plus la différence entre l' ordonnée de f et celle de l'asymptote oblique est:

Cette différence est positive si x est positif; cela signifie que le graphe de la fonction est situé au-dessus de l'asymptote oblique du côté des x positifs.

Asymptote oblique à gauche:

Car

De plus la différence entre l' ordonnée de f et celle de l'asymptote oblique est:

Cette différence est négative si x tend vers moins l'infini ; cela signifie que le graphe de la fonction est situé en dessous de l'asymptote oblique du côté des x négatifs.

d) Calcul de f ' et signe de f '.

         calcul de la dérivée si x>0

Pour étudier son signe, nous réduisons l'expression au même dénominateur:

Réalisons le tableau de signe de l'expression obtenue:

Nous ne pouvons tenir compte du signe de f ' que pour les valeurs de x > 0.

  calcul de la dérivée si x<0

Pour étudier son signe, nous réduisons l'expression au même dénominateur:

Calculons les racines du numérateur:

Le numérateur n'admet donc pas de racines. Réalisons le tableau de signe de l'expression:

Nous ne pouvons tenir compte du signe de f ' que pour les valeurs de x < 0.

Récapitulation

Signe de f ' :

e) Limites des valeurs de f ' aux extrémités des intervalles de dérivation.

limites de f 'en l'infini

limites de f ' en -1

limites de f ' à gauche et à droite de 0

Remarquons que la fonction est définie en 0 mais non dérivable en cette valeur. Puisque les limites de la fonction à gauche et à droite de 0 sont des réels distincts, cela signifie que le point d'abscisse 0 est un point anguleux. En ce point, il y a deux demi-tangentes à droite de coefficient angulaire nul et à gauche de coefficient angulaire - 2.

f) Calcul de f '' et signe de f ''.

·        calcul de la dérivée seconde

signe de la dérivée seconde

Le signe de f '' est le signe de x+1, pour tout x différent de -1  et de 0

g) Tableau récapitulatif des variations de f, f ', f ".

h) Graphique de f (en rouge) et asymptotes (asymptote verticale en bleu, asymptotes obliques en vert) + dessin des tangentes(s) au graphe au point x = 0 (en rose).

Rappels de cours concernant cette question:

Valeur absolue d'un réel

La fonction valeur absolue est définie et continue sur R. Elle est dérivable en tout réel sauf en zéro.

Domaine de définition d'une fonction

Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des réels x en lesquels la fonction est définie c'est-à-dire l'ensemble des réels x qui ont une image par la fonction.

Méthode: écrire la ou les conditions d’existence de l’expression et les résoudre.    L ’ensemble des solutions est le domaine de définition de la fonction

Domaine de continuité d'une fonction

la fonction f est continue en le réel a

Le domaine de continuité d'une fonction est l'ensemble des réels en lesquels la fonction est continue.

Les fonctions usuelles sont continues sur leur domaine de définition (fonction constante, identique, valeur absolue, inverse de x, puissance de x, racine nème de x, fonction sinus, cosinus, tangente, cotangent, exponentielles, logarithmes, arcsinus, arccosinus, arctangente, arccotangente).

Toute fonction qui peut s'écrire comme une somme, un produit, un quotient ou une composée de fonctions continues sur leur domaine de définition est une fonction continue sur son domaine de définition.

Domaine de dérivabilité d'une fonction

Par définition, si

existe dans R, cette limite est appelée "nombre dérivé de f en a"  et est noté f'(a). On dit alors que f est dérivable en a.

Le domaine de dérivabilité d'une fonction est l'ensemble des réels en lesquels f est dérivable c'est-à-dire l'ensemble des réels en lesquels le nombre dérivé de f en a existe dans R.

Par conséquent, si cette limite à gauche de a est différente de la limite à droite de a, alors le nombre dérivé de f en a n'existe pas et la fonction n'est pas dérivable en a.

Calcul des limites en l'infini

Remplacer la variable x par l'infini en respectant les règles suivantes (sauf les cas d'indétermination qu'il faut traiter par la méthode adéquate):
- additionner l'infini à un réel donne l'infini avec conservation de son signe
- additionner l'infini avec l'infini de même signe donne l'infini doté de ce signe
- additionner l'infini avec l'infini de signe contraire est un cas d'indétermination
(rappelons aussi que soustraire, c'est ajouter l'opposé)
- multiplier l'infini par un réel non nul donne l'infini : le signe est déterminé par la règle des signes
- multiplier l'infini par l'infini donne l'infini : le signe est déterminé par la règle des signes
- multiplier l'infini par 0 est un cas d'indétermination
- diviser un réel par l'infini donne 0
- diviser l'infini par l'infini est un cas d'indétermination

Calcul des limites en un réel a

Si f(x) est une fraction dont le dénominateur s'annule pour x = a, mais pas le numérateur, les limites de f à gauche et à droite en a sont infinies. On détermine le signe en étudiant le signe de la fonction.

Asymptotes verticales et limites infinies

Le graphe d’une fonction f admet une asymptote verticale d’équation

Asymptotes horizontales et limites en l'infini

Le graphe d’une fonction f admet une asymptote verticale d’équation :

Asymptotes obliques

Le graphe d’une fonction f admet une asymptote oblique d’équation

Dans le cas où la fonction est définie par une fraction de polynôme dont le degré du numérateur surpasse de 1 unité le degré du dénominateur,  son graphe admet toujours une asymptote oblique des deux côtés.

Si le graphe de f admet une asymptote oblique d’équation:

on étudie le signe de

Si		alors le graphe est situé au-dessus de l’asymptote oblique.
Si		alors le graphe est situé en dessous de l’asymptote oblique.

Racines et signe de l'expression du second degré

Considérons l'expression du second degré:

Calculer le réalisant : 

1er cas:

Les racines sont :

et le tableau de signe : 

2ème cas:

Le trinôme n'admet qu'une seule racine :  

et  le tableau de signe :

3ème cas:

Le trinôme n’admet pas de racine et le trinôme est du signe de a pour toutes les valeurs de x.

Extremum d'une fonction (maximum ou minimum)

Si la fonction dérivée de f est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, alors la fonction est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur cet intervalle. Les changements de signe de la dérivée indiquent l'existence d'un extremum (minimum ou maximum)

Méthode :

- calculer la fonction dérivée de f (voir formules des dérivées) 

- rechercher les racines des facteurs composant f' puis établir son tableau de signe

- en déduire les intervalles où f est croissante, décroissante ainsi que les extrema

Concavité et points d'inflexion

On sait que si la fonction dérivée seconde d'une fonction est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, le graphe de la fonction tourne sa concavité vers le haut (respectivement vers le bas) sur cet intervalle.

 Méthode :

- calculer la fonction dérivée seconde de la fonction (dériver la fonction dérivée au moyen des formules)

- rechercher les racines des facteurs composant  f'' et établir son tableau de signe 

- en déduire le sens de la concavité du graphe de la fonction et les points d'inflexion 

Formules des dérivées employées dans cette question

à télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip 

Cette question résolue (référence : Q71)

Le formulaire des dérivées
dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions.

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du second degré 
(référence F2)
définition, représentation graphique, racines, propriétés des racines, signe, factorisation.

Recherche du domaine de définition d'une fonction
(référence F7)
définition, lecture du domaine de définition sur un graphique, méthode de recherche du domaine de définition d'une fonction donnée par son expression analytique, liste des conditions d'existence d'une expression.

Asymptotes du graphe d'une fonction
(référence F12)
Méthodes pour trouver les asymptotes verticales horizontales et obliques au graphe d'une fonction, et étudier la position du graphe par rapport à celles-ci. Exemples variés et détaillés de ces méthodes et illustrations graphiques.

Limite d'une fonction en un réel ou en l'infini
(référence F11)
Limite en un réel: cas d'une fraction dont le numérateur s'annule et pas le numérateur, cas 0/0 dans le cas d'une fraction de polynômes et dans le cas d'une fraction avec des racines carrées. Limite en l'infini: opérations avec l'infini, limite en l'infini d'un polynôme, d'une fraction de polynômes, d'une fraction contenant des racines carrées, cas "infini - infini" avec des racines carrées. Règle de l'Hospital: conditions et conseils d'application, astuces pour transformer un cas "0.infini" ou "infini - infini" afin d'appliquer l'Hospital. Exemples détaillés de tous ces cas.

Comment étudier le signe d'une expression?
(référence F10)
Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas.

Dérivée d'une fonction 
(référence F4)
définition, interprétation géométrique, applications : tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction.

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