Examen d'admission Université de Liège (Belgique)- Analyse – Question 1 (Juillet 1999)

Enoncé:

a) Rechercher l'ensemble de définition de la fonction

b) Calculer F(x)

c) En déduire la valeur de

Résolution

a) condition d'existence:

L'ensemble de définition de la fonction F est:

b) Transformons l'expression de la fonction à intégrer en remplaçant cos x en fonction de tan x/2:

L'intégrale à calculer est donc la suivante (appelons-la I):

Posons maintenant:

Isolons x afin de calculer dx:

Effectuons la substitution:

Décomposons la fonction obtenue en une somme de fractions simples c'est-à-dire cherchons les réels a et b tels que:

Réduisons la somme des fractions au même dénominateur et rassemblons les termes semblables:

La fraction obtenue étant égale à celle de départ, nous identifions les coefficients des termes du numérateur:

L'intégrale à  calculer est donc:

En employant les propriétés de l'intégrale, nous obtenons:

Employons maintenant les formules d'intégration:

Remplaçons t par sa valeur:

Nous allons maintenant transformer l'expression obtenue en fonction des nombres trigonométriques de x car cette forme n'est pas définie pour toutes les valeurs du domaine de f.

De la formule de trigonométrie:

nous déduisons:

Transformons I:

c) Calculons l'intégrale définie:

Rappels de cours concernant cette question:

Domaine de définition d'une fonction

Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des réels x en lesquels la fonction est définie c'est-à-dire l'ensemble des réels x qui ont une image par la fonction.

Méthode: écrire la ou les conditions d’existence de l’expression et les résoudre.   L’ensemble des solutions est le domaine de définition de la fonction

Intégration par substitution

Pour calculer

on peut poser:

avec

Pour intégrer les fractions de polynômes dont le degré du numérateur est strictement inférieur au degré du dénominateur, on décompose celles-ci en une somme de fractions simples.

Pour cela :

a. Factoriser le dénominateur en polynômes du type

 et

de sorte que ces derniers ne soient pas décomposables en facteurs du premier degré donc avec la condition que

(Cette décomposition existe et est unique).

b. Ecrire la fraction donnée sous la somme de fractions simples de la manière suivante:

Pour chaque facteur du dénominateur du type

il correspond la somme de n fractions simples:

Pour chaque facteur du dénominateur du type

il correspond la somme de fractions simples

c. Réduire la somme des fractions obtenues au même dénominateur et rassembler au numérateur les termes semblables afin d’obtenir un polynôme en la variable donnée.

d. Identifier les coefficients respectifs de même puissance dans la fraction donnée et dans la fraction obtenue. Cela conduit à système d’équations linéaires.

e. Résoudre ce système. On obtient ainsi les coefficients des fractions simples.

f. Intégrer la somme des fractions simples.
 

Calcul d'une intégrale définie

 
où F est une primitive de f c’est-à-dire que

Formules de trigonométrie employées dans cette question

Propriétés des logarithmes népériens

à télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip 

Cette question résolue (référence : Q70)

Le formulaire des dérivées
dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions.

Le formulaire des primitives
primitives des fonctions de base  et de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions - formules de l'intégration par parties - intégration par changement de variable.

La fiche de cours en rapport avec cette question:

Maîtriser le calcul intégral pas à pas!
(référence F13)
Intégration immédiate - formules et leurs utilisations - comment transformer astucieusement une expression afin de l'intégrer - intégration par parties - intégration par substitution - liste de substitutions utiles - quelles formules employer pour intégrer les fonctions trigonométriques - intégration des fractions de polynômes  - décomposition en fractions simples - calcul des intégrales définies - les méthodes sont accompagnées de conseils pour aider à choisir celle qui convient le mieux et illustrées par 47 exemples résolus en détail et commentés - dossier de 29 pages

Hébergement de votre site  = 120 euro/an luxpixel.com