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Examen d'admission Université de Liège (Belgique)- Algèbre
– Question 3 (Juillet 1999)
Enoncé:
a) Calculer
où ω est une racine cubique de 1 (n entier positif)
b) Combien de valeurs différentes obtient-on quand
Lesquelles?
Résolution
a) Calculons d'abord les racines cubiques de 1.
Recherchons la forme trigonométrique 1:
Son module est 1 et son argument l'angle nul. La forme trigonométrique de 1
est donc:
Les racines cubiques de 1sont les complexes
tels que:
On en déduit:
D'où
Calculons 1 + ω à l'aide des formules de Carnot et de l'angle
double:
Calculons maintenant l'expression demandée, et appliquons la
formule de Moivre:
b) Le complexe 1 admet 3 racines cubiques en donnant à k les valeurs 0, 1 et
2.
Pour k = 0,
Nous en déduisons que
Si k = 1:
On obtient ainsi 6 complexes différentes en donnant à n les
valeurs 0, 1, 2, 3, 4, 5:
Si n = 0
Si n = 1
Si n = 2
Si n = 3
Si n = 4
Si n = 5
Si k =2:
Nous obtenons également 6 nombres différents en donnant à n les
valeurs 0, 1, 2, 3, 4 5.
Si n = 0
Si n = 1
Si n = 2
Si n = 3
Si n = 4
Si n = 5
Pour n = 6, 7,8... nous retrouvons les valeurs calculées pour n
= 0, 1, 2....
Nous constatons que nous retrouvons les nombres calculés pour k
= 1.
Conclusion:
Pour ω différent de 1, nous obtenons 6 valeurs différentes qui
sont:
Rappels de cours concernant cette question:
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Nombre complexe |
Un nombre complexe est un nombre sous la forme a+bi où a et b sont des nombres
réels et i , l'unité imaginaire telle que
a est sa partie réelle et b sa partie imaginaire.
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Forme trigonométrique
d'un nombre complexe |
Un nombre complexe
s'écrit sous forme trigonométrique
ce qu'on note aussi plus brièvement
dans laquelle le module est
et l'argument se calcule ainsi
ce qui donne
| si a>0, alors |
 |
| si a<0, alors |
 |
Propriété: puissance d'un nombre complexe écrit sous la forme
trigonométrique:
|
|
Racines nèmes
d'un nombre complexe |
Considérons un nombre complexe non nul écrit sous sa forme trigonométrique:
Chercher ses racines nèmes, c'est déterminer les complexes
tels que:
c'est-à-dire:
| Les racines nèmes du complexe |
|
sont donc de la forme:
|
Tout complexe non nul possède donc n racines nèmes,
obtenues en donnant à k successivement les valeurs 0, 1, 2, ...., n-1.
|
|
Valeurs particulières
des nombres trigonométriques |
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|
Rappel de formules de
trigonométrie |
A télécharger: format
Microsoft Word compressé au format .zip
Cette question résolue
(référence : Q69)
Le formulaire de trigonométrie
formules fondamentales - formules d'addition - formules de duplication (angle
double) - formules de Carnot - formules de Simpson - formules de factorisation
- transformation de a.cos(x)+b.sin(x)+c
Les fiches de cours en rapport avec cette question:
Les nombres complexes
(référence F17)
Définition d'un nombre complexe, complexe conjugué - égalité de deux nombres
complexes - résolution de l'équation du second degré dans les complexes
- représentation géométrique et forme trigonométrique - propriétés
(produit, quotient, puissances, formule de Moivre) - racines nèmes
d'un nombre complexe
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