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Examen d'admission Université de Liège  (Belgique)- Algèbre – Question 2 (Juillet 1999)

Enoncé:

Discuter le système

où a est un paramètre réel.

Résolution

Calcul du déterminant du système:

Les deux dernières colonnes sont égales, ce qui implique que le déterminant du système est nul, quelle que soit la valeur du paramètre a. Le système est donc impossible ou indéterminé. Résolvons-le:

Afin d'éliminer x, soustrayons l'équation (1) de l'équation (2):

Le paramètre a est un facteur commun des deux membres de la deuxième équation. Nous pouvons diviser ces deux membres par a si a est non nul. Nous allons envisager les deux cas:

Discussion du système

1er cas:

Le système est équivalent à celui-ci:

Multiplions la troisième équation par 2 et soustrayons-la de la deuxième:

Remplaçons x par sa valeur dans la première et la troisième équation:

Factorisons le membre de gauche de la première équation:

Remplaçons dans la première équation, y+z par sa valeur tirée de la troisième:

Résolvons la première équation:

Nous avons ainsi la discussion suivante:

si

Le système est impossible et donc

si

Le système est équivalent à celui-ci:

Et l'ensemble des solutions est:

2ème cas:

Remplaçons a par cette valeur dans le système de départ:

Et l'ensemble des solutions est:

Résumé de la discussion:

si
si
si

Rappels de cours concernant cette question:

Résolution d'un système linéaire de n équations à n inconnues en utilisant les déterminants

La méthode des déterminants est particulièrement efficace pour résoudre des systèmes linéaires de n équations à n inconnues avec coefficients paramétriques mais peut aussi bien sûr s'utiliser dans le cas de coefficients numériques.

La méthode décrite ci-dessous résout un système de 3 équations linéaires à 3 inconnues mais peut se généraliser pour un système de n équations linéaires à n inconnues.

Considérons le système suivant:

 

Calculer de déterminant D du système:

1er cas:

Calculer Nx, le déterminant obtenu en remplaçant dans le déterminant du système la 1ère colonne par celle des termes indépendants:

Calculer de façon similaire Ny et Nz:

Le système admet une solution unique, le triplet:

2ème cas:

Dans ce cas, le système est impossible ou indéterminé. Le résoudre par les méthodes classiques de substitution ou d'addition.

Calcul du déterminant d'une matrice

       Déterminant 2x2 (définition)

 

       Déterminant 3x3

Considérons une matrice c'est-à-dire un tableau de nombres (réels ou complexes), composée de 3 lignes et de 3 colonnes.

Définitions préalables

Le mineur d'un élément aij, noté Mij est le déterminant obtenu en supprimant la ligne i et la colonne j (ligne et colonne dans lesquelles se trouve l'élément aij) dans le tableau donné.

Exemple: le mineur de l'élément a23 est:

Le cofacteur d'un élément aij, noté Aij est donné par la formule:

Propriété préalable à la définition de déterminant

La somme des produits des élément d'une rangée (ligne ou colonne) par leur cofacteur respectif est une constante. Cette constante est appelée déterminant de la matrice. 

On aura donc par exemple, si nous développons suivant la deuxième ligne :

 

Remarque: pour calculer le déterminant, la ligne ou la colonne suivant laquelle nous développons est laissée à notre choix. Nous pouvons donc choisir celle qui contient le plus d'éléments nuls (s'il y en a) ou en faire apparaître à l'aide des propriétés suivantes.

Propriétés facilitant le calcul d'un déterminant

Lorsqu'on multiplie les éléments d'une rangée (ligne ou colonne) par un facteur commun, le déterminant est multiplié par ce facteur.

Conséquence: on peut mettre en évidence un facteur commun à tous les éléments d'une ligne ou colonne.

Lorsqu'on ajoute à une rangée une combinaison linéaire (somme de multiples) des rangées parallèles, la valeur du déterminant ne change pas

En pratique: On emploie cette propriété pour faire apparaître des éléments nuls dans la matrice et ainsi faciliter le calcul du déterminant.

Conséquence: lorsque deux rangées parallèles (lignes ou colonnes) sont multiples l'une de l'autre (en particulier égales), le déterminant est nul.

Principes d'équivalence des systèmes d'équations

1.      Méthode de substitution

Si on remplace dans une équation d’un système, l’une des inconnues par l’expression obtenue en isolant cette inconnue dans une autre équation, le système obtenu admet les mêmes solutions que le système initial.

2.   Méthode des combinaisons

Si on ajoute à une équation d’un système un multiple d’une autre équation du système, le système obtenu admet les mêmes solutions que le système initial.

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q68)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Résolution d'un système de 2 équations du 1er degré
(référence F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométrique

Calcul du déterminant d'une matrice
(référence F19)
Déterminant 2x2 (définition) - Déterminant 3x3 (mineur et cofacteur d'un élément d'une matrice - définition du déterminant - propriété permettant de faciliter le calcul d'un déterminant - illustration par des exemples

Résolution d'un système linéaire n x n par la méthode des déterminants
(référence F20)

Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:  règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

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