Examen d'admission Ecole Royale Militaire (Belgique)- Section toutes armes – Algèbre Analyse – Question 6 (1999)

Enoncé:

Résolution:

a. - pour que la fonction admette trois asymptotes verticales:

le dénominateur doit admettre trois zéros donc l'équation:

doit admettre trois solution. Elle est équivalente à:

-1 étant le premier zéro, l'équation du second degré doit en admettre deux donc son réalisant doit être strictement positif:

 - pour que la fonction admette une asymptote horizontale:

la limite en l'infini de la fonction doit être un nombre réel. Calculons celle-ci:

La limite de la fonction en l'infini étant un réel, le graphe admet la droite d'équation y = 0 pour asymptote horizontale, quelle que soit la valeur de m.

 - pour que la fonction admette deux zéros:

le numérateur doit admettre deux zéros, donc l'équation

doit admettre deux solutions, ce qui implique que le réalisant doit être strictement positif.

Tableau de signe du premier membre:

La fonction admet deux zéros lorsque:

Conclusion: les valeurs de m pour que les trois conditions soient vérifiée sont:

b. m=5 vérifie bien les conditions trouvées au point précédent .

On a alors:

(i) asymptotes verticales:

recherchons les zéros du dénominateur:

Calculons la limite de f en ces trois valeurs:

Les limites à gauche et à droite sont donc infinies. Afin d'en déterminer le signe, nous étudions le signe du dénominateur:

On en déduit donc que:

Le graphe admet donc une asymptote verticale d'équation

Calculons la deuxième limite:

Les limites à gauche et à droite sont donc infinies.

Le graphe admet donc une asymptote verticale d'équation

Calculons enfin la troisième limite:

Les limites à gauche et à droite sont donc infinies.

Le graphe admet donc une asymptote verticale d'équation

asymptote horizontale

Le graphe admet l'asymptote horizontale d'équation:

(la justification a déjà été faite au point a.)

(ii) ordonnée du point d'intersection du graphique C de f avec l'axe des y

L'ordonnée du point d'intersection du graphique avec l'axe des y est l'image de 0:

(iii) les zéros de la fonction

Les zéros de la fonction sont les zéros du numérateur. Nous devons donc résoudre l'équation:

(iv) démontrons que l'on peut écrire l'expression de f sous la forme

Puisque nous connaissons les zéros du numérateur, nous pouvons factoriser celui-ci:

Et nous pouvons écrire f(x) sous la forme:

Par conséquent:

où

démontrons que

Pour cela, dérivons f(x) en utilisant l'expression démontrée ci-dessous:

D'où:

Equation de la tangente au graphe au point d'abscisse x = - 1/2:

Nous calculons:

et

L'équation de la tangente est donc:

(iv) recherchons l'équation de la droite passant par

Nous avons calculé f(0) plus haut:

L'équation de cette droite est donc:

Démontrons que cette droite a encore deux autres points communs avec la courbe. Pour cela, nous devons résoudre le système formé par les équations de cette droite et de la courbe:

Résolvons l'équation aux abscisses:

Nous retrouvons l'abscisse -1/2 comme solution. Résolvons maintenant l'autre équation:

Nous retrouvons à présent l'abscisse x = 0 comme solution. Pour que la courbe ait encore deux autres points en commun avec la droite, il faut que la dernière équation ait deux solutions, donc que son réalisant soit strictement positif. Calculons celui-ci:

Pour le fun, voici la représentation graphique de la fonction, de la tangente au point d'abscisse -1/2 (en vert) et de la droite de la dernière question (en bleu):

Rappels de cours concernant cette question:

Zéros d'une expression et règle du produit nul

Un zéro ou une racine d'une fonction ou d'une expression est une valeur de la variable pour laquelle cette fonction ou cette expression est nulle.
Chercher les racines d'une fonction f revient donc à résoudre l'équation f(x) = 0.

Règle du produit nul:

Racines et signe de l'expression du second degré

Considérons l'expression du second degré:

Calculer le réalisant : 

1er cas:

Les racines sont :

et le tableau de signe : 

2ème cas:

Le trinôme n'admet qu'une seule racine :  

et  le tableau de signe :

3ème cas:

Le trinôme n’admet pas de racine et le trinôme est du signe de a pour toutes les valeurs de x.

Asymptotes verticales et limites infinies

Le graphe d’une fonction f admet une asymptote verticale d’équation

Si f(x) est une fraction dont le dénominateur s'annule pour x = a, mais pas le  numérateur, les limites de f à gauche et à droite en a sont infinies. On détermine le signe en étudiant le signe de la fonction.

Asymptotes horizontales et limites en l'infini

Le graphe d’une fonction f admet une asymptote verticale d’équation :

La limite en l'infini d'une fraction de polynômes est égale à la limite en l'infini du quotient des termes de plus haut degré de ces deux polynômes.

Factorisation de l'expression du second degré

-         si r > 0, alors l'expression admet 2 racines x₁ et x₂ (voir ci-dessus) et

-         si r = 0, alors l'expression admet 1 racine x₁et

-         si r < 0, alors l'expression n'admet pas de racine et ne se factorise pas.

Equation de la tangente au graphe d'une fonction f au point d'abscisse a

Formules des dérivées employées dans cette question

Equation d'une droite passant par deux points

L'équation d'une droite passant par

et

est :

Points d'intersection entre deux courbes et méthode de substitution

Pour rechercher la coordonnée des points d'intersection de deux droites ou courbes, il faut résoudre le système formé par les équations de ces droites ou courbes.

La méthode de substitution pour résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues consiste à isoler l'une des inconnues dans l'une des équations et à remplacer cette inconnue par l'expression obtenue dans l'autre équation. Cette nouvelle équation ne contient alors plus qu'une inconnue et peut donc être résolue par la méthode adéquate.

Méthode de résolution d'une équation fractionnaire

Ecrire les conditions d’existence.

Réduire les fractions au même dénominateur.

Multiplier les deux membres par ce dénominateur commun (application du principe de multiplication) ce qui revient à supprimer ce dénominateur commun.(Remarquons que cette opération modifie le domaine de l’équation et donc que l’équation obtenue contient peut-être des solutions étrangères)

Résoudre l’équation obtenue.

Sélectionner les solutions qui vérifient les conditions d’existence.
 

Simplification des radicaux

Pour simplifier un radical, on écrit le nombre sous le signe radical sous la forme d’un produit dont l’un des facteurs est un carré, et on applique la propriété:

Pour chasser les radicaux du dénominateur d'une fraction lorsque ce dénominateur comporte deux termes, on multiplie le numérateur et le dénominateur par l’expression conjuguée de celui-ci.