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Examen d'admission Ecole Royale
Militaire (Belgique)- Section toutes armes – Algèbre Analyse – Question 2 (1999)
Enoncé:
On donne le système suivant (inconnues: x et y,
paramètre: a):
Pour quelle(s) valeurs(s) de a, ce système a-t-il
a. une seule solution
b. aucune solution
c. une infinité de solutions?
Remarque: pour le premier et le troisième cas, donner
l'expression de cette (ces) solutions(s).
Résolution
a. Le système admet une seule solution si et seulement si le déterminant est
non nul. Calculons celui-ci:
Calculons la solution:
b. Le système n'admet aucune solution dans le cas où a = -1.
En effet le système obtenu:
est impossible.
c. Le système admet une infinité de solution dans le cas où a = 1.
Le système obtenu est alors:
et l'ensemble des solutions est alors:
Rappels de cours concernant cette question:
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Résolution
d'un système linéaire de n équations à n inconnues en utilisant les déterminants |
La méthode des déterminants est particulièrement efficace pour résoudre des
systèmes linéaires de n équations à n inconnues avec coefficients paramétriques
mais peut aussi bien sûr s'utiliser dans le cas de coefficients numériques.
La méthode décrite ci-dessous résout un système de 3 équations linéaires à
3 inconnues mais peut se généraliser pour un système de n équations linéaires
à n inconnues.
Considérons le système suivant:
Calculer de déterminant D du système:
| 1er cas: |
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Calculer Nx, le déterminant obtenu en remplaçant dans le déterminant
du système la 1ère colonne par celle des termes indépendants:
Calculer de façon similaire Ny et Nz:
Le système admet une solution unique, le triplet:
| 2ème cas: |
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Dans ce cas, le système est impossible ou indéterminé. Le résoudre par les
méthodes classiques de substitution ou d'addition.
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Calcul
du déterminant d'une matrice |
Déterminant 2x2 (définition)
Déterminant 3x3
Considérons une matrice c'est-à-dire un tableau de nombres (réels ou complexes),
composée de 3 lignes et de 3 colonnes.
Définitions
préalables
Le mineur d'un élément aij, noté Mij est le déterminant
obtenu en supprimant la ligne i et la colonne j (ligne et colonne dans lesquelles
se trouve l'élément aij) dans le tableau donné.
Exemple: le mineur de l'élément a23 est:
Le cofacteur d'un élément aij, noté Aij est donné par
la formule:
Propriété
préalable à la définition de déterminant
La somme des produits des élément d'une rangée (ligne ou colonne) par leur
cofacteur respectif est une constante. Cette constante est appelée déterminant
de la matrice.
On aura donc par exemple, si nous développons suivant la deuxième ligne :
Remarque: pour calculer le déterminant, la ligne ou la colonne suivant
laquelle nous développons est laissée à notre choix. Nous pouvons donc choisir
celle qui contient le plus d'éléments nuls (s'il y en a) ou en faire apparaître
à l'aide des propriétés suivantes.
Propriétés
facilitant le calcul d'un déterminant
Lorsqu'on multiplie les éléments d'une rangée (ligne ou colonne) par un facteur
commun, le déterminant est multiplié par ce facteur.
Conséquence: on peut mettre en évidence un facteur commun à tous les
éléments d'une ligne ou colonne.
Lorsqu'on ajoute à une rangée une combinaison linéaire (somme de multiples)
des rangées parallèles, la valeur du déterminant ne change pas
En pratique: On emploie cette propriété pour faire apparaître des éléments
nuls dans la matrice et ainsi faciliter le calcul du déterminant (voir remarque
ci-dessus).
A
télécharger: format Microsoft Word compressé au format
.zip
Cette question résolue
(référence : Q62)
Les fiches de cours en rapport
avec cette question:
Calcul du déterminant d'une
matrice
(référence F19)
Déterminant 2x2 (définition) - Déterminant 3x3 (mineur et cofacteur d'un
élément d'une matrice - définition du déterminant - propriété permettant
de faciliter le calcul d'un déterminant - illustration par des exemples
Résolution d'un système linéaire
n x n par la méthode des déterminants
(référence F20)
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