Etude d'une fonction avec paramètre

Examen d'admission Ecole Royale Militaire (Belgique)- Section toutes armes – Algèbre Analyse – Question 3 (1998)

Enoncé:

On donne la fonction :

où m est un paramètre réel On demande :

1. de déterminer les valeurs de m de telle façon que f
- ne présente pas d'asymptotes verticales - présente une asymptote oblique - admette trois zéros comme sur la figure suivante:

2. de vérifier que m = 3 remplit les conditions trouvées au point précédent: dans ce cas
a. de calculer
(i) l'équation de l'asymptote oblique A
(ii) les zéros de la fonction f
(iii) les coordonnées du point d'intersection du graphique C de f avec son asymptote oblique
(iv) l'équation de la tangente T à C au point d'abscisse x = 1; à cet effet démontrer d'abord que lorsque f(x)=(x-1)g(x), il s'en suit que f'(1)=g(1)
b. de calculer les coordonnées des points communs à C et T. c. de calculer l'abscisse où l'écart vertical entre la courbe C et son asymptote A est le plus grand.

Résolution:

1. - zéros de la fonction :

Puisque f admet 3 zéros, l'expression du second degré

doit admettre 2 racines donc son réalisant doit être strictement positif:

Conclusion : pour que la fonction admette 3 zéros, il faut que

- asymptotes verticales : puisque f n'admet pas d'asymptote verticale, le dénominateur ne peut admettre de racines.

En effet, supposons que le dénominateur admette une racine a.

- si cette racine n'est pas une racine du numérateur, la limite de f en a à gauche et à droite est infinie et le graphe de f admet alors une asymptote verticale.

- si cette racine est une racine du numérateur, on peut alors simplifier la fraction par le facteur x-a, et alors la fonction n'admet plus 3 zéros.

Comme le dénominateur, qui est une expression du second degré:

n'admet pas de racine, son réalisant est strictement négatif donc

Conclusion : pour que le graphe de f n'admette pas d'asymptote verticale,

- asymptote oblique : la fonction étant une fraction de polynômes dont le degré du numérateur surpasse de une unité le degré du dénominateur, son graphe admet toujours une asymptote oblique, quelle que soit la valeur de m.

Synthèse des conditions :

2. m=3 vérifie bien les conditions trouvées au point précédent .

On a alors:

(i) calcul de l'asymptote oblique :

- coefficient angulaire de l'asymptote oblique

- ordonnée à l'origine de l'asymptote oblique

L'équation de l'asymptote oblique est donc :

(ii) les zéros de la fonction

Il faut résoudre l'équation f(x)=0 soit

La deuxième équation étant du second degré, calculons son réalisant:

Les solutions sont donc:

Conclusion : les zéros de la fonction sont :

(iii) coordonnées des points d'intersection le l'asymptote et du graphique:

Il faut résoudre le système formé par les équations du graphique C et de son asymptote :

Résolvons la première de ces deux équations appelée équations aux abscisses:

Le système devient :

Le seul point d'intersection du graphique C avec son asymptote a pour coordonnée (1,0).

(iv) équation de la tangente au graphique au point d'abscisse x = 1

Démontrons que si f(x)=(x-1)g(x) alors f'(1)=g(1).

En effet si f(x)=(x-1)g(x) alors f'(x)=(x-1)'g(x)+(x-1)g'(x)=g(x)+(x-1)g'(x) et donc si x=1, on obtient f'(1)=g(1)+(1-1)g'(1)=g(1).

L'équation de la tangente au graphique C au point d'abscisse x=1 est

Comme

on a

Conclusion : l'équation de la tangente au graphique C au point d'abscisse x=1 est :

b. Calcul des points communs à C et à T:

Il faut résoudre le système formé par les équations de C et de T:

Résolvons la première des deux équations (équation aux abscisses) :

La deuxième équation est une équation du second degré; le réalisant est :

et les solutions de cette équation sont :

Les abscisses des points d'intersection de C et de T sont donc 1 et -4.

Le système devient :

Conclusion : les points d'intersection de C et de T ont pour coordonnées :

c. abscisse où l'écart vertical entre la courbe C et son asymptote A est le plus grand:

L'écart vertical entre la courbe C et son asymptote A est la valeur absolue (car un écart est toujours positif), de la différence entre l'ordonnée du graphe et l'ordonnée de l'asymptote. Appelons d(x) cet écart. On a donc:

La différence f(x) - (x-1)a été calculée au point a. (iii), elle vaut:

Afin de déterminer x pour que cet écart soit maximal, dérivons l'expression obtenue:

Etudions maintenant le signe de cette expression.

Pour cela, calculons les racines des facteurs qui la composent (nous savons déjà que le dénominateur n'a pas de racines: voir point 1.)

Il suffit donc de rechercher les racines du numérateur qui est une expression du second degré. Son réalisant est:

Les racines du numérateur sont donc :

Signe de la dérivée de la différence f(x)-(x-1):

Puisque

nous devons étudier le signe de

Nous constatons que le tableau du signe de la dérivée de f(x)-(x-1) n'est valable que si x<1 et que nous devons donc inverser les signes pour x>1. On obtient le tableau des variations de d(x):

L'écart vertical entre le graphe et son asymptote admet donc 2 maxima locaux. Calculons leurs valeurs afin de déterminer le plus grand.

D'autre part:

En comparant les deux valeurs, on voit que l'écart vertical entre la courbe C et son asymptote A est le plus grand pour

Rappels de cours concernant cette question:

Zéros d'une expression et règle du produit nul

Un zéro ou une racine d'une fonction ou d'une expression est une valeur de la variable pour laquelle cette fonction ou cette expression est nulle.
Chercher les racines d'une fonction f revient donc à résoudre l'équation f(x) = 0.

Règle du produit nul:

Racines et signe de l'expression du second degré

Considérons l'expression du second degré:

Calculer le réalisant :

1er cas:

Les racines sont :

et le tableau de signe :

2ème cas:

Le trinôme n'admet qu'une seule racine :

et le tableau de signe :

3ème cas:

Le trinôme n’admet pas de racine et le trinôme est du signe de a pour toutes les valeurs de x.

Asymptotes verticales et limites infinies

Le graphe d’une fonction f admet une asymptote verticale d’équation

Si f(x) est une fraction dont le numérateur s'annule pour x = a, mais pas le dénominateur, les limites de f à gauche et à droite en a sont infinies. On détermine le signe en étudiant le signe de la fonction.

Asymptotes obliques

Le graphe d’une fonction f admet une asymptote oblique d’équation

Dans le cas où la fonction est définie par une fraction de polynôme dont le degré du numérateur surpasse de 1 unité le degré du dénominateur, son graphe admet toujours une asymptote oblique des deux côtés.

Points d'intersection entre deux courbes et méthode de substitution

Pour rechercher la coordonnée des points d'intersection de deux droites ou courbes, il faut résoudre le système formé par les équations de ces droites ou courbes.

La méthode de substitution pour résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues consiste à isoler l'une des inconnues dans l'une des équations et à remplacer cette inconnue par l'expression obtenue dans l'autre équation. Cette nouvelle équation ne contient alors plus qu'une inconnue et peut donc être résolue par la méthode adéquate.

Equation de la tangente au graphe d'une fonction f au point d'abscisse a

Formules des dérivées employées dans cette question

Extremum d'une fonction (maximum ou minimum)

S i la fonction dérivée de f est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, alors la fonction est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur cet intervalle. Les changements de signe de la dérivée indiquent l'existence d'un extremum (minimum ou maximum)

Méthode :

- calculer la fonction dérivée de f (voir formules des dérivées)

- rechercher les racines des facteurs composant f' puis établir son tableau de signe

- en déduire les intervalles où f est croissante, décroissante ainsi que les extrema

Valeur absolue d'un réel

Simplification des radicaux

Pour simplifier un radical, on écrit le nombre sous le signe radical sous la forme d’un produit dont l’un des facteurs est un carré, et on applique la propriété:

Pour chasser les radicaux du dénominateur d'une fraction lorsque ce dénominateur comporte deux termes, on multiplie le numérateur et le dénominateur par l’expression conjuguée de celui-ci.

à télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip

Cette question résolue (référence : Q6)

Le formulaire des dérivées
dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions.

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du second degré
(référence F2)
définition, représentation graphique, racines, propriétés des racines, signe, factorisation.

Asymptotes du graphe d'une fonction
(référence F12)
Méthodes pour trouver les asymptotes verticales horizontales et obliques au graphe d'une fonction, et étudier la position du graphe par rapport à celles-ci. Exemples variés et détaillés de ces méthodes et illustrations graphiques.

Limite d'une fonction en un réel ou en l'infini
(référence F11)
Limite en un réel: cas d'une fraction dont le numérateur s'annule et pas le numérateur, cas 0/0 dans le cas d'une fraction de polynômes et dans le cas d'une fraction avec des racines carrées. Limite en l'infini: opérations avec l'infini, limite en l'infini d'un polynôme, d'une fraction de polynômes, d'une fraction contenant des racines carrées, cas "infini - infini" avec des racines carrées. Règle de l'Hospital: conditions et conseils d'application, astuces pour transformer un cas "0.infini" ou "infini - infini" afin d'appliquer l'Hospital. Exemples détaillés de tous ces cas.

Comment étudier le signe d'une expression?
(référence F10)
Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas.

Dérivée d'une fonction
(référence F4)
définition, interprétation géométrique, applications : tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction.

Résolution d'un système de 2 équations du 1er degré
(référence F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométrique

Racines carrées d'un nombre réel
(référence F8)
définition du symbole racine carrée positive, condition d'existence, propriétés, résolution de l'équation x² = a, simplification des radicaux, comment chasser un radical du dénominateur d'une fraction, exemples d'applications.

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