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Examen d'admission Ecole Royale
Militaire (Belgique)- Epreuve complémentaire Polytechnique – Algèbre Analyse
Trigonométrie– Question 3 (1998)
Enoncé:
| Déterminer |
 |
(avec |
|
) sachant que |
 |
et que: |
Résolution
Conditions d'existence:
Ces deux conditions sont satisfaites quel que soit le complexe
z étant donné que le module d'un complexe est un réel positif.
Transformons l'expression afin d'appliquer la troisième règle
de calcul des logarithmes:
Utilisons le lien avec les logarithmes népériens:
Transformons ln 36 à l'aide de la troisième règle de calcul des
logarithmes:
Simplifions:
Utilisons la deuxième règle de calcul:
Si nous posons z=a+bi, sachant que:
nous pouvons calculer:
De même:
L'équation devient:
Les deux membres étant positifs, nous obtenons une équation
équivalente en les élevant au carré:
Le membre de droite étant positif, nous avons que:
Elevons les deux membres au carré:
Vu la condition ci-dessus, la valeur b=2 doit être rejetée.
Nous avons alors:
Puisque z=a+bi, les solutions de l'équation sont:
Rappels de cours concernant cette question:
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Rappels
sur les logarithmes en base a quelconque |
a étant un réel strictement positif et différent de 1:
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Principe
d'équivalence |
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Résolution
d'une équation avec des logarithmes |
Après
avoir déterminé le domaine de l’équation, en utilisant les règles de calcul
on se ramène si possible à l’égalité de deux logarithmes afin d’appliquer le
principe d’équivalence.
On obtient
ainsi une équation algébrique qu’il reste à résoudre.
Enfin,
on vérifie si les solutions obtenues sont dans le domaine et donc bien des solutions
de l’équation initiale.
|
|
Résolution d'une équation
irrationnelle |
Une équation irrationnelle est une équation dont l'inconnue
apparaît sous un signe radical.
Pour éliminer les radicaux, on élève les deux membres au carré
(à cet effet, il est souvent utile d'isoler le radical dans un membre).
On utilise ainsi le principe d'équivalence:
Il faut donc exprimer la condition pour que les deux membres aient
le même signe. La marche à suivre est la suivante:
 |
Rechercher le domaine de l’équation.
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Isoler le radical dans un membre.
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Rechercher la condition pour que les deux membres aient
le même signe. (rappel : désigne le nombre positif dont le carré est a)
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Elever les deux membres au carré.
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Si l’équation obtenue contient encore un radical, isoler
celui-ci dans un membre et renouveler le procédé.
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Lorsque l’équation ne contient plus de radical, résoudre
l’équation obtenue.
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Rejeter les solutions ne faisant pas partie du domaine et
celles qui ne vérifient pas les conditions.
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Forme
trigonométrique d'un nombre complexe |
Un nombre complexe
s'écrit sous forme trigonométrique
ce qu'on note aussi plus brièvement
dans laquelle le module est
et l'argument se calcule ainsi
ce qui donne
| si a>0, alors |
 |
| si a<0, alors |
 |
A
télécharger:
format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette
question résolue
(référence : Q59)
Les
fiches de cours en rapport avec cette question:
Recherche du domaine de définition
d'une fonction
(référence F7)
définition, lecture du domaine de définition sur un graphique, méthode de
recherche du domaine de définition d'une fonction donnée par son expression
analytique, liste des conditions d'existence d'une expression.
Les fonctions logarithmes
(référence F15)
fonction logarithme népérien: définition, représentation graphique,
propriétés de la fonction (domaine de définition, croissance, limites aux
bornes du domaine, dérivée), règle de calcul - fonctions logarithmes en base
a quelconque:
définition, représentation graphique, propriétés de la fonction (domaine
de définition, croissance, limites aux bornes du domaine, dérivée), règle
de calcul, propriété (lien avec exponentielle népérienne)
Les nombres complexes
(référence F17)
Définition d'un nombre complexe, complexe conjugué - égalité de deux nombres
complexes - résolution de l'équation du second degré dans les complexes
- calcul des racines carrées d'un nombre complexe - représentation géométrique et forme trigonométrique - propriétés
(produit, quotient, puissances, formule de Moivre) - racines nèmes
d'un nombre complexe
Résolution d'une équation avec logarithmes
(référence F21)
Rappels des définitions, domaine, règles de calcul, principes d'équivalence des
logarithmes en base a et népérien - méthodes de résolution illustrées par des
exemples
Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les
équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:
règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes
d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les
équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.
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