Résolution d'une équation avec logarithmes en base quelconque dans l'ensemble des nombres complexes

Examen d'admission Ecole Royale Militaire (Belgique)- Epreuve complémentaire Polytechnique – Algèbre Analyse Trigonométrie– Question 3 (1998)

Enoncé:

Déterminer

(avec

) sachant que

et que:

Résolution

Conditions d'existence:

Ces deux conditions sont satisfaites quel que soit le complexe z étant donné que le module d'un complexe est un réel positif.

Transformons l'expression afin d'appliquer la troisième règle de calcul des logarithmes:

Utilisons le lien avec les logarithmes népériens:

Transformons ln 36 à l'aide de la troisième règle de calcul des logarithmes:

Simplifions:

Utilisons la deuxième règle de calcul:

Si nous posons z=a+bi, sachant que:

nous pouvons calculer:

De même:

L'équation devient:

Les deux membres étant positifs, nous obtenons une équation équivalente en les élevant au carré:

Le membre de droite étant positif, nous avons que:

Elevons les deux membres au carré:

Vu la condition ci-dessus, la valeur b=2 doit être rejetée. Nous avons alors:

Puisque z=a+bi, les solutions de l'équation sont:

Rappels de cours concernant cette question:

Rappels sur les logarithmes en base a quelconque

définition:

a étant un réel strictement positif et différent de 1:

règles de calcul:

lien avec le logarithme népérien:

Principe d'équivalence

Résolution d'une équation avec des logarithmes

Après avoir déterminé le domaine de l’équation, en utilisant les règles de calcul on se ramène si possible à l’égalité de deux logarithmes afin d’appliquer le principe d’équivalence.

On obtient ainsi une équation algébrique qu’il reste à résoudre.

Enfin, on vérifie si les solutions obtenues sont dans le domaine et donc bien des solutions de l’équation initiale.

Résolution d'une équation irrationnelle

Une équation irrationnelle est une équation dont l'inconnue apparaît sous un signe radical.

Pour éliminer les radicaux, on élève les deux membres au carré (à cet effet, il est souvent utile d'isoler le radical dans un membre).

On utilise ainsi le principe d'équivalence:

Il faut donc exprimer la condition pour que les deux membres aient le même signe. La marche à suivre est la suivante:

	Rechercher le domaine de l’équation.
	Isoler le radical dans un membre.
	Rechercher la condition pour que les deux membres aient le même signe. (rappel : désigne le nombre positif dont le carré est a)
	Elever les deux membres au carré.
	Si l’équation obtenue contient encore un radical, isoler celui-ci dans un membre et renouveler le procédé.
	Lorsque l’équation ne contient plus de radical, résoudre l’équation obtenue.
	Rejeter les solutions ne faisant pas partie du domaine et celles qui ne vérifient pas les conditions.

Forme trigonométrique d'un nombre complexe

Un nombre complexe

s'écrit sous forme trigonométrique

ce qu'on note aussi plus brièvement

dans laquelle le module est

et l'argument se calcule ainsi

ce qui donne

si a>0, alors
si a<0, alors

A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q59)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Recherche du domaine de définition d'une fonction
(référence F7)
définition, lecture du domaine de définition sur un graphique, méthode de recherche du domaine de définition d'une fonction donnée par son expression analytique, liste des conditions d'existence d'une expression.

Les fonctions logarithmes
(référence F15)
fonction logarithme népérien: définition, représentation graphique, propriétés de la fonction (domaine de définition, croissance, limites aux bornes du domaine, dérivée), règle de calcul - fonctions logarithmes en base a quelconque: définition, représentation graphique, propriétés de la fonction (domaine de définition, croissance, limites aux bornes du domaine, dérivée), règle de calcul, propriété (lien avec exponentielle népérienne)

Les nombres complexes
(référence F17)
Définition d'un nombre complexe, complexe conjugué - égalité de deux nombres complexes - résolution de l'équation du second degré dans les complexes - calcul des racines carrées d'un nombre complexe - représentation géométrique et forme trigonométrique - propriétés (produit, quotient, puissances, formule de Moivre) - racines n^èmes d'un nombre complexe

Résolution d'une équation avec logarithmes
(référence F21)
Rappels des définitions, domaine, règles de calcul, principes d'équivalence des logarithmes en base a et népérien - méthodes de résolution illustrées par des exemples

Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation: règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

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