Enoncé:

Etudier la fonction

(domaine, croissance et décroissance, extremums, points d'inflexion, asymptotes, représentation graphique)

Résolution

domaine

condition d'existence:

croissance et décroissance, extrema

Calculons la dérivée de f:

Racines du numérateur:

Nous devons résoudre l'équation:

Posons

L'équation devient:

Calculons son réalisant:

Les solutions en t sont:

Nous en déduisons les racines en x:

Racines du numérateur:

Réalisons le tableau de signe de la dérivée et celui des variations de f:

La fonction admet deux extremums:

un maximum d'abscisse 0 qui vaut

un minimum d'abscisse ln4 qui vaut

points d'inflexion

Calculons la dérivée seconde de la fonction:

Réalisons le tableau de signe de la dérivée seconde et celui de la concavité/convexité de la courbe et des points d'inflexion (le numérateur n'admet pas de racines)

Le graphe n'admet pas de point d'inflexion.

asymptotes

asymptotes verticales

ln2 est le seul réel adhérent qui n'appartient pas au domaine de la fonction.

Calculons la limite de la fonction en ln2:

Si nous remplaçons x par ln2 dans chacune de ces limites, nous obtenons:

Le résultat de cette deuxième limite signifie que les limites en ln2 à gauche et à droite sont infinies. Etudions le signe de l'expression:

Nous en déduisons:

Conclusion: le graphe de la fonction admet une asymptote verticale d'équation:

asymptotes horizontales

Calculons la limite de f en plus l'infini:

Calculons séparément ces deux limites:

Cette dernière limite étant indéterminée, nous levons l'indétermination en employant le théorème de l'Hospital:

Finalement, nous obtenons le résultat du calcul de la limite en plus l'infini:

Calculons maintenant la limite de f en moins l'infini:

Calculons séparément ces deux limites:

Nous obtenons le résultat du calcul de la limite en moins l'infini:

Les limites en plus l'infini et en moins l'infini n'étant pas un réel, le graphe de f n'admet pas d'asymptote horizontale.

asymptotes obliques

Etudions l'existence de l'asymptote oblique du côté des x positifs:

*calcul du coefficient directeur de l'asymptote oblique:

*calcul du terme indépendant de l'asymptote oblique:

Conclusion: du côté des x positifs, le graphe admet l'asymptote oblique d'équation:

Etudions l'existence de l'asymptote oblique du côté des x négatifs:

*calcul du coefficient directeur de l'asymptote oblique:

*calcul du terme indépendant de l'asymptote oblique:

Conclusion: du côté des x négatifs, le graphe admet l'asymptote oblique d'équation:

e) Graphe de f

Rappels de cours concernant cette question:

La fonction exponentielle népérienne

• définition

où e est le nombre de Neper

• représentation graphique

• domaine de définition

• signe

• limites aux bornes du domaine

• dérivée

• propriété

La fonction exponentielle népérienne est la réciproque de la fonction logarithme népérien:

Domaine de définition d'une fonction

Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des réels x en lesquels la fonction est définie c'est-à-dire l'ensemble des réels x qui ont une image par la fonction.

Méthode: écrire la ou les conditions d’existence de l’expression et les résoudre.    L ’ensemble des solutions est le domaine de définition de la fonction

Extremum d'une fonction (maximum ou minimum), croissance et décroissance

Si la fonction dérivée de f est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, alors la fonction est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur cet intervalle. Les changements de signe de la dérivée indiquent l'existence d'un extremum (minimum ou maximum)

Méthode :

- calculer la fonction dérivée de f (voir formules des dérivées) 

- rechercher les racines des facteurs composant f' puis établir son tableau de signe

- en déduire les intervalles où f est croissante, décroissante ainsi que les extrema

Concavité et points d'inflexion

On sait que si la fonction dérivée seconde d'une fonction est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, le graphe de la fonction tourne sa concavité vers le haut (respectivement vers le bas) sur cet intervalle.

 Méthode :

- calculer la fonction dérivée seconde de la fonction (dériver la fonction dérivée au moyen des formules)

- rechercher les racines des facteurs composant  f'' et établir son tableau de signe 

- en déduire le sens de la concavité du graphe de la fonction et les points d'inflexion 

Asymptotes verticales et limites infinies

Le graphe d’une fonction f admet une asymptote verticale d’équation

On calculera donc la limite de la fonction en les réels n'appartenant pas au domaine de la fonction mais qui lui sont adhérents.

Si f(x) est une fraction dont le dénominateur s'annule pour x = a, mais pas le numérateur, les limites de f à gauche et à droite en a sont infinies. On détermine le signe en étudiant le signe de la fonction.

Asymptotes horizontales et limites en l'infini

Le graphe d’une fonction f admet une asymptote verticale d’équation :

Asymptotes obliques

Le graphe d’une fonction f admet une asymptote oblique d’équation

Calcul des limites en l'infini

Remplacer la variable x par l'infini en respectant les règles suivantes (sauf les cas d'indétermination qu'il faut traiter par la méthode adéquate):
- additionner l'infini à un réel donne l'infini avec conservation de son signe
- additionner l'infini avec l'infini de même signe donne l'infini doté de ce signe
- additionner l'infini avec l'infini de signe contraire est un cas d'indétermination
(rappelons aussi que soustraire, c'est ajouter l'opposé)
- multiplier l'infini par un réel non nul donne l'infini : le signe est déterminé par la règle des signes
- multiplier l'infini par l'infini donne l'infini : le signe est déterminé par la règle des signes
- multiplier l'infini par 0 est un cas d'indétermination
- diviser un réel par l'infini donne 0
- diviser l'infini par l'infini est un cas d'indétermination

Théorème de l'Hospital

(énoncé simplifié)

Résolution dans l'ensemble des réels de l'équation du second degré

Pour résoudre l'équation :

calculer son réalisant :

- si r  > 0 , l'équation admet deux solutions :

- si r = 0 , l'équation admet une seule solution (ou deux solutions identiques):

- si r < 0 , l'équation n'admet pas de solution

Formules des dérivées employées dans cette question