Examen d'admission Université Catholique de Louvain  (Belgique)- Analyse – Question 3.b) (Septembre 1998)

Enoncé:

Justifiez en détail que le polynôme

s'annule en un point au moins. Généralisez ensuite ce résultat.

Résolution

Justifions d'abord que cette fonction est continue sur R:

Nous savons que:

* toute fonction constante est continue sur R

* toute fonction puissance à exposant naturel est continue sur R

* si f et g sont des fonctions continues sur R, alors la somme f+g et le produit f.g sont des fonctions continues sur R

Or cette fonction polynôme est une somme de produits de fonctions constantes et de fonctions puissance à exposant naturel. Nous en déduisons donc que cette fonction polynôme est continue sur R.

Conséquence: la fonction étant continue sur R, elle est continue sur tout intervalle [a,b] de R.

Montrons maintenant qu'il existe deux réels a et b dont les images sont de signes contraires.

Pour cela calculons les limites en l'infini de cette fonction. Nous appliquons la propriété suivante: la limite en l'infini d'une fonction polynôme est la limite en l'infini de son terme de plus haut degré.

Si a₃>0:

Si a₃<0:

Poursuivons le raisonnement dans le cas a₃>0 (l'autre cas se traite de manière similaire):

Nous avons donc:

Ce qui signifie par définition: (nous désignons par f la fonction polynôme)

Nous en déduisons qu'il existe au moins un réel b tel que f(b)>0 (en choisissant e  = 0)

De manière analogue:

Et donc:

Nous en déduisons qu'il existe au moins un réel a tel que f(a)<0 (en choisissant e  = 0)

Appliquons maintenant le théorème des valeurs intermédiaires, puisque les hypothèses sont satisfaites:

"f étant une fonction continue dans [a,b], tout réel compris entre f(a) et f(b) est l'image d'au moins un réel compris entre a et b"

En effet, f(a) et f(b) étant de signe contraire, 0 est compris entre ces deux valeurs, et est donc l'image d'au moins un réel compris entre a et b.

Généralisation

Tout polynôme de degré impair s'annule en un point au moins.

Rappels de cours concernant cette question:

Enoncé

f étant une fonction continue dans [a,b], tout réel compris entre f(a) et f(b) est l'image d'au moins un réel compris entre a et b

Illustration

Si la fonction f est continue sur l'intervalle [a,b], tout réel m compris entre f(a) et f(b) est l'image d'au moins un réel c de l'intervalle [a,b].

Autrement dit, l'équation f(x)=m admet au moins une solution dans l'intervalle [a,b].

Conséquence

Si f(a) et f(b) sont de signes contraires, la fonction s'annule au moins une fois dans l'intervalle [a,b].

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q56)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Limite d'une fonction en un réel ou en l'infini
(référence F11)
Limite en un réel: cas d'une fraction dont le numérateur s'annule et pas le numérateur, cas 0/0 dans le cas d'une fraction de polynômes et dans le cas d'une fraction avec des racines carrées. Limite en l'infini: opérations avec l'infini, limite en l'infini d'un polynôme, d'une fraction de polynômes, d'une fraction contenant des racines carrées, cas "infini - infini" avec des racines carrées. Règle de l'Hospital: conditions et conseils d'application, astuces pour transformer un cas "0.infini" ou "infini - infini" afin d'appliquer l'Hospital. Exemples détaillés de tous ces cas.

Théorème des accroissements finis ou de Lagrange et théorème de Rolle, théorème des valeurs intermédiaires
(référence F25)
Enoncés des trois théorèmes, illustration graphique et interprétation géométrique

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