Optimisation: distance d'un point à une courbe

Examen d'admission Université Catholique de Louvain (Belgique)- Analyse – Question 3.a) (Septembre 1998)

Enoncé:

Calculez la distance du point (1,0) à la courbe définie par l'équation

Résolution

La distance d'un point à une courbe est la distance la plus courte entre ce point et un point quelconque de la courbe. Il s'agit donc d'un problème d'optimisation.

Un point quelconque de la courbe a pour coordonnée:

Calculons la distance entre ce point et le point (1,0):

Calculons la dérivée de l'expression obtenue:

Réalisons le tableau de signe de la dérivée et déduisons-en le tableau des variations de la distance:

La distance du point (1,0) à la courbe est donc la distance du point (1,0) au point d'abscisse 1/2 de cette courbe:

Pour le fun, voici la représentation de la courbe et de la distance demandée:

Rappels de cours concernant cette question:

Distance entre deux points dans un repère orthonormé

Si A et B sont deux points de coordonnée respective (x_A,y_A) et (x_B,y_B), la distance entre ces deux points est donnée par la formule:

Extremum d'une fonction (maximum ou minimum)

Si la fonction dérivée de f est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, alors la fonction est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur cet intervalle. Les changements de signe de la dérivée indiquent l'existence d'un extremum (minimum ou maximum)

Méthode :

- calculer la fonction dérivée de f (voir formules des dérivées)

- rechercher les racines des facteurs composant f' puis établir son tableau de signe

- en déduire les intervalles où f est croissante, décroissante ainsi que les extrema

Formules des dérivées employées dans cette question

A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q55)

Le formulaire des dérivées
dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions.

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du premier degré
(référence : F1)
définition, représentation, racine, signe

Dérivée d'une fonction
(référence : F4)
définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction)

Comment étudier le signe d'une expression?
(référence F10)
Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas.

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