Examen d'admission Université Catholique de Louvain  (Belgique)- Analyse – Question 2 (Septembre 1998)

Enoncé:

On considère la fonction définie par

a) Donnez le domaine de f.

b) Situez le ou les extrema éventuels.

c) Indiquez les intervalles de convexité et de concavité de f et situez le ou les points d'inflexion éventuels.

d) Montrez que le graphe de f n'a pas d'asymptote.

e) Dessinez le graphe de f (y compris les tangentes aux points d'inflexion éventuels).

Résolution

a) domaine de définition:

condition d'existence:

Réalisons le tableau de signe de l'expression du premier membre:

b) extrema

Calculons la dérivée de f:

Réalisons le tableau de signe de la dérivée et celui des variations de f:

La fonction n'admet aucun extremum.

c) Intervalles de convexité, de concavité et points d'inflexion.

Calculons la dérivée seconde de la fonction:

Réalisons le tableau de signe de la dérivée seconde et celui de la concavité/convexité de la courbe et des points d'inflexion:

La concavité du graphe est tournée vers le bas sur le domaine de la fonction. Le graphe n'admet pas de point d'inflexion.

d) Montrons que le graphe n'admet pas d'asymptote

asymptotes verticales

-3 et 3 sont les seuls réels adhérents et n'appartenant pas au domaine de la fonction.

Calculons la limite de la fonction en -3 et en 3:

Ces limites n'étant pas infinies, le graphe de f n'admet donc pas d'asymptote verticale.

asymptotes horizontales

La limite n'étant pas un réel, le graphe de f n'admet pas d'asymptote horizontale.

asymptotes obliques

calcul du coefficient directeur de l'asymptote oblique:

Cette limite n'étant pas un réel non nul, le graphe de la fonction n'admet pas d'asymptote oblique.

e) Graphe de f

Remarque importante:

Pour déterminer le domaine de définition de la fonction, on s'est appuyé sur la définition d'une puissance d'un réel à exposant fractionnaire (voir ci-dessous), qui n'est définie que si le réel est strictement positif.

Cependant, il existe un autre point de vue: lorsque l'exposant est 1/3, la puissance n'est qu'une autre écriture de la racine cubique du réel, qui est définie quel que soit ce réel.

Si on adopte ce point de vue, le domaine de définition de la fonction est donc R et il convient d'adapter l'étude de toute la fonction:

a) domaine de définition:

R

b) extrema

La dérivée est:

Et le tableau des variations est le suivant:

c) Intervalles de convexité, de concavité et points d'inflexion.

La dérivée seconde est:

On en déduit le tableau de la concavité/convexité et des points d'inflexion:

Le graphe de f admet donc deux points d'inflexion de coordonnée (-3,0) et (3,0).

e) Graphe de f

Tangentes aux points d'inflexion:

Le graphe admet des points d'inflexion aux points d'abscisses -3 et 3. Or f n'est pas dérivable en ces réels. Calculons alors la limite de la dérivée en -3 et 3:

Les tangentes au graphe de f aux points d'abscisses -3 et 3 sont donc parallèle à l'axe des ordonnées. Elles ont pour équation x=3 et x=-3.

Rappels de cours concernant cette question:

Racine cubique d'un réel

x est la racine cubique du réel a si et seulement si

Elle est notée:

et est définie pour tout réel a.

Ecriture des radicaux sous forme d'une puissance

Si x est un réel strictement positif, n un naturel et p un naturel supérieur ou égal à 2:

et

Domaine de définition d'une fonction

Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des réels x en lesquels la fonction est définie c'est-à-dire l'ensemble des réels x qui ont une image par la fonction.

Méthode: écrire la ou les conditions d’existence de l’expression et les résoudre.    L ’ensemble des solutions est le domaine de définition de la fonction

Extremum d'une fonction (maximum ou minimum), croissance et décroissance

Si la fonction dérivée de f est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, alors la fonction est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur cet intervalle. Les changements de signe de la dérivée indiquent l'existence d'un extremum (minimum ou maximum)

Méthode :

- calculer la fonction dérivée de f (voir formules des dérivées) 

- rechercher les racines des facteurs composant f' puis établir son tableau de signe

- en déduire les intervalles où f est croissante, décroissante ainsi que les extrema

Concavité et points d'inflexion

On sait que si la fonction dérivée seconde d'une fonction est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, le graphe de la fonction tourne sa concavité vers le haut (respectivement vers le bas) sur cet intervalle.

 Méthode :

- calculer la fonction dérivée seconde de la fonction (dériver la fonction dérivée au moyen des formules)

- rechercher les racines des facteurs composant  f'' et établir son tableau de signe 

- en déduire le sens de la concavité du graphe de la fonction et les points d'inflexion 

Asymptotes verticales et limites infinies

Le graphe d’une fonction f admet une asymptote verticale d’équation

On calculera donc la limite de la fonction en les réels n'appartenant pas au domaine de la fonction mais qui lui sont adhérents.

Asymptotes horizontales et limites en l'infini

Le graphe d’une fonction f admet une asymptote verticale d’équation :

Asymptotes obliques

Le graphe d’une fonction f admet une asymptote oblique d’équation

Calcul des limites en l'infini

Remplacer la variable x par l'infini en respectant les règles suivantes (sauf les cas d'indétermination qu'il faut traiter par la méthode adéquate):
- additionner l'infini à un réel donne l'infini avec conservation de son signe
- additionner l'infini avec l'infini de même signe donne l'infini doté de ce signe
- additionner l'infini avec l'infini de signe contraire est un cas d'indétermination
(rappelons aussi que soustraire, c'est ajouter l'opposé)
- multiplier l'infini par un réel non nul donne l'infini : le signe est déterminé par la règle des signes
- multiplier l'infini par l'infini donne l'infini : le signe est déterminé par la règle des signes
- multiplier l'infini par 0 est un cas d'indétermination
- diviser un réel par l'infini donne 0
- diviser l'infini par l'infini est un cas d'indétermination
 

Equation de la tangente au graphe d'une fonction f au point d'abscisse a

Dans le cas où f n'est pas dérivable en a, on calcule la limite en a (éventuellement à gauche et à droite) de la dérivée. Si l'on obtient l'infini, la tangente au graphe au point d'abscisse a est parallèle à l'axe des ordonnées.

Formules des dérivées employées dans cette question