
Hébergement de vote site internet: 1,75 € ht par mois
Examen d'admission Ecole Royale
Militaire (Belgique)- Section toutes armes – Algèbre Analyse – Question 2 (1998)
Enoncé:
On donne la fonction:

On demande :
1. d'étudier le domaine de cette
fonction, son signe, sa croissance et décroissance, ses extremums et ses points
d'inflexion.
2. d'établir le graphique C de cette
fonction.
3. de calculer l'aire de la partie
du plan comprise entre la courbe C et l'axe des X positifs.
Résolution:
1. Domaine
Condition d'existence :
Le membre de gauche est une expression du second degré; étudions son signe:
Domaine de la fonction :
Signe de f(x):
Cherchons ses racines :
Tableau du signe de f(x):
croissance, décroissance, extremums
Calculons la dérivée de f:
Racines du numérateur :
Signe de la dérivée:
Variation de la fonction :
f atteint un maximum pour
qui vaut :
Points d'inflexions
Calculons la dérivée seconde :


Racines du numérateur :
Signe de la dérivée seconde:
Concavité de la fonction :
La concavité du graphe de la fonction change en (0,0) : ce point est donc
le seul point d'inflexion.
2. Représentation graphique
3. Calcul de l'aire
Sur l'intervalle [0 ; 0.5], la fonction est négative donc l'aire
(d'unité de surface)
Rappels de cours concernant cette question:
|
Racines
et signe de l'expression du second degré |
Considérons l'expression du second degré:

Calculer le réalisant :

| 1er cas: |
|
Les racines sont :
et le tableau de signe :

| 2ème cas: |
|
Le trinôme n'admet qu'une seule racine :
et le tableau de signe :

| 3ème cas: |
|
Le trinôme n’admet pas de racine et le trinôme est du signe de a pour toutes
les valeurs de x.
|
Domaine
de définition d'une fonction |
Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des réels
x en lesquels la fonction est définie c'est-à-dire l'ensemble des réels x qui
ont une image par la fonction.
Méthode: écrire la ou les conditions d’existence de l’expression
et les résoudre. L’ensemble des solutions est le domaine de définition
de la fonction
|
Racine
carrée positive d'un nombre réel |

désigne le réel positif dont le carré vaut x. Il n'a de sens que si x est positif
ou nul.
|
Croissance,
décroissance, extremum d'une fonction |
Si la fonction dérivée de f est strictement positive (respectivement
strictement négative) sur un intervalle, alors la fonction est strictement croissante
(respectivement strictement décroissante) sur cet intervalle. Les changements
de signe de la dérivée indiquent l'existence d'un extremum (minimum ou maximum)
Méthode :
- calculer la fonction dérivée de f (voir formules des dérivées)
- rechercher les racines des facteurs composant f' puis établir son tableau
de signe
- en déduire les intervalles où f est croissante, décroissante ainsi que les
extrema
|
Formules
des dérivées employées dans cette question |
|
Concavité
et points d'inflexion |
On sait que si la fonction dérivée seconde d'une fonction est strictement positive
(respectivement strictement négative) sur un intervalle, le graphe de la fonction
tourne sa concavité vers le haut (respectivement vers le bas) sur cet intervalle.
Méthode :
-
calculer la fonction dérivée seconde de la fonction (dériver la fonction dérivée
au moyen des formules)
-
rechercher les racines des facteurs composant f'' et établir son tableau
de signe
-
en déduire le sens de la concavité du graphe de la fonction et les points d'inflexion
|
Calcul
d'une aire plane |
Si une fonction continue
sur un intervalle ne change pas de signe sur cet intervalle, l'aire de
la partie du plan délimitée par la courbe d'équation y = f(x), l'axe des abscisses,
et les droites d'équation x = a et x = b est donnée par la formule:
|
Calcul d'une intégrale
définie |
où F est une primitive de f c’est-à-dire que F‘ = f
|
Formule
des primitives employée dans cette question |
à télécharger:
format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette question résolue
(référence : Q5)
Le formulaire des dérivées
dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines,
trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes
et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations
avec les fonctions.
Le formulaire des primitives
primitives des fonctions de base et de la composées de ces fonctions,
opérations avec les fonctions - formules de l'intégration par parties - intégration
par changement de variable.
Les fiches de cours en rapport avec cette question:
La fonction du second degré
(référence F2)
définition, représentation graphique, racines, propriétés des racines, signe,
factorisation.
Intégrale définie d'une fonction
continue sur l'intervalle [a,b]
(référence F3)
définition, propriétés, interprétation graphique, calcul, applications:
calcul d'une aire plane, d'un volume de révolution.
Dérivée d'une fonction
(référence F4)
définition, interprétation géométrique, applications : tangente au graphe
d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de
la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction.
Recherche du domaine de définition
d'une fonction
(référence F7)
définition, lecture du domaine de définition sur un graphique, méthode de
recherche du domaine de définition d'une fonction donnée par son expression
analytique, liste des conditions d'existence d'une expression.
Racines carrées d'un nombre
réel
(référence F8)
définition du symbole racine carrée positive, condition d'existence, propriétés,
résolution de l'équation x2 = a, simplification des radicaux,
comment chasser un radical du dénominateur d'une fraction, exemples d'applications.
Comment étudier le signe d'une
expression?
(référence F10)
Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du
second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme
ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle).
Exemples détaillés de tous ces cas.
Maîtriser le calcul intégral
pas à pas
(référence F13)
Intégration immédiate, formules et leurs utilisations, comment transformer
astucieusement une expression afin de l'intégrer, intégration par parties,
intégration par substitution, liste de substitutions utiles, quelles formules
employer pour intégrer les fonctions trigonométriques, intégration des fractions
de polynômes, décomposition en fractions simples, calcul des intégrales
définies, les méthodes sont accompagnées de conseils pour aider à choisir
celle qui convient le mieux et illustrées par 47 exemples résolus en détail
et commentés - dossier de 29 pages
Hébergement de votre site =
1,75 EUR/mois
luxpixel.com