Examen d'admission Ecole Royale Militaire (Belgique)- Section toutes armes – Algèbre Analyse – Question 2 (1998)

Enoncé:

Résolution:

1. Domaine

Condition d'existence :

Le membre de gauche est une expression du second degré; étudions son signe:

Domaine de la fonction :

Signe de f(x):

Cherchons ses racines :

Tableau du signe de f(x):

croissance, décroissance, extremums 

Calculons la dérivée de f:

Racines du numérateur :

Signe de la dérivée:

Variation de la fonction :

 f atteint un maximum pour

qui vaut :

f atteint un minimum pour

qui vaut

Points d'inflexions

 Calculons la dérivée seconde :

 Racines du numérateur :

 Signe de la dérivée seconde:

Concavité de la fonction :    

La concavité du graphe de la fonction change en (0,0) : ce point est donc le seul point d'inflexion.

2. Représentation graphique

3. Calcul de l'aire

Sur l'intervalle [0 ; 0.5], la fonction est négative donc l'aire

(d'unité de surface)

Rappels de cours concernant cette question:

Racines et signe de l'expression du second degré

Considérons l'expression du second degré:

Calculer le réalisant : 

1er cas:

Les racines sont :
   

et le tableau de signe : 

2ème cas:

Le trinôme n'admet qu'une seule racine : 

et  le tableau de signe :

3ème cas:

Le trinôme n’admet pas de racine et le trinôme est du signe de a pour toutes les valeurs de x.

Domaine de définition d'une fonction

Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des réels x en lesquels la fonction est définie c'est-à-dire l'ensemble des réels x qui ont une image par la fonction.

Méthode: écrire la ou les conditions d’existence de l’expression et les résoudre.   L’ensemble des solutions est le domaine de définition de la fonction

Racine carrée positive d'un nombre réel

désigne le réel positif dont le carré vaut x. Il n'a de sens que si x est positif ou nul.

Croissance, décroissance, extremum d'une fonction

Si la fonction dérivée de f est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, alors la fonction est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur cet intervalle. Les changements de signe de la dérivée indiquent l'existence d'un extremum (minimum ou maximum)

Méthode :

- calculer la fonction dérivée de f (voir formules des dérivées) 

- rechercher les racines des facteurs composant f' puis établir son tableau de signe

- en déduire les intervalles où f est croissante, décroissante ainsi que les extrema

Formules des dérivées employées dans cette question

Concavité et points d'inflexion

On sait que si la fonction dérivée seconde d'une fonction est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, le graphe de la fonction tourne sa concavité vers le haut (respectivement vers le bas) sur cet intervalle.

 Méthode :

-                  calculer la fonction dérivée seconde de la fonction (dériver la fonction dérivée au moyen des formules)

-                  rechercher les racines des facteurs composant  f'' et établir son tableau de signe 

-                  en déduire le sens de la concavité du graphe de la fonction et les points d'inflexion 

Calcul d'une aire plane

Si une fonction continue sur un intervalle ne change pas de signe sur cet intervalle, l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe d'équation y = f(x), l'axe des abscisses, et les droites d'équation x = a et x = b est donnée par la formule:

Calcul d'une intégrale définie

 
où F est une primitive de f c’est-à-dire que F‘ = f

Formule des primitives employée dans cette question