Examen d'admission Université Catholique de Louvain  (Belgique)- Analyse – Question 1 (Juillet 1998 - série 2)

a)

Si nous remplaçons x par 3 nous obtenons le cas:

Multiplions le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée du dénominateur:

b)

c)

Utilisons d'abord la formule de trigonométrie exprimant sin x en fonction de tan x/2:

Nous obtenons:

Posons:

On a alors:

d)

Posons:

On obtient:

e)

Calculons d'abord l'intégrale indéfinie:

Nous procédons par parties en posant:

Appliquons la formule d'intégration par parties:

Calculons maintenant l'intégrale définie:

Intégration par substitution

Pour calculer

on peut poser:

avec

Intégration par parties

Intégrale définie d'une fonction continue sur un intervalle

où F est une primitive de f c'est-à-dire que F' = f

L'ensemble des primitives d'une fonction est noté:

Formules des dérivées employées dans cette question

Formules de trigonométrie employées dans cette question

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q49)

Le formulaire des dérivées
dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions.

Le formulaire des primitives
primitives des fonctions de base  et de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions - formules de l'intégration par parties - intégration par changement de variable.

Le formulaire de trigonométrie
formules fondamentales - formules d'addition - formules de duplication (angle double) - formules de Carnot - formules de Simpson - formules de factorisation - transformation de a.cos(x)+b.sin(x)+c

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Intégrale définie d'une fonction continue sur un intervalle
(référence : F3) 
définition, calcul, propriétés, interprétation géométrique, applications (calcul d'une aire plane, d'un volume de révolution)

Dérivée d'une fonction 
(référence : F4) 
définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction)

Limite d'une fonction en un réel ou en l'infini
(référence F11)
Limite en un réel: cas d'une fraction dont le numérateur s'annule et pas le numérateur, cas 0/0 dans le cas d'une fraction de polynômes et dans le cas d'une fraction avec des racines carrées. Limite en l'infini: opérations avec l'infini, limite en l'infini d'un polynôme, d'une fraction de polynômes, d'une fraction contenant des racines carrées, cas "infini - infini" avec des racines carrées. Règle de l'Hospital: conditions et conseils d'application, astuces pour transformer un cas "0.infini" ou "infini - infini" afin d'appliquer l'Hospital. Exemples détaillés de tous ces cas.

Maîtriser le calcul intégral pas à pas
(référence F13)
Intégration immédiate, formules et leurs utilisations, comment transformer astucieusement une expression afin de l'intégrer, intégration par parties, intégration par substitution, liste de substitutions utiles, quelles formules employer pour intégrer les fonctions trigonométriques, intégration des fractions de polynômes, décomposition en fractions simples, calcul des intégrales définies, les méthodes sont accompagnées de conseils pour aider à choisir celle qui convient le mieux et illustrées par 47 exemples résolus en détail et commentés - dossier de 29 pages

Hébergement de votre site  = 120 euro/an luxpixel.com