Examen d'admission Université
Catholique de Louvain (Belgique)- Analyse – Question 1 (Juillet 1998 -
série 2)
Enoncé:
a) Calculez la limite
suivante:
b) Calculez la dérivée
suivante:
c) Calculez:
d) Calculez:
e) Calculez:
Résolution:
a)
Si nous remplaçons x par 3 nous obtenons le cas:
Multiplions le numérateur et le dénominateur par l'expression
conjuguée du dénominateur:
b)
c)
Utilisons d'abord la formule de trigonométrie exprimant sin x en fonction de
tan x/2:
Nous obtenons:
Posons:
On a alors:
d)
Posons:
On obtient:
e)
Calculons d'abord l'intégrale indéfinie:
Nous procédons par parties en posant:
Appliquons la formule d'intégration par parties:
Calculons maintenant l'intégrale définie:
Rappels de cours concernant cette
question:
Calcul
de la limite d'une fraction avec des racines carrées en un réel a
Si f(x) est une fraction avec des racines carrées, et telle que
le numérateur et le dénominateur s'annulent tous deux pour x = a, on lève
l'indétermination en multipliant le numérateur et le dénominateur par
l'expression conjuguée de celle qui contient les radicaux.
On simplifie ensuite la fraction obtenue puis on calcule sa limite en le réel a.
L'expression conjuguée de a + b est a - b et inversement.
Intégration
par substitution
Pour calculer
on peut poser:
avec
Intégration par parties
Intégrale définie d'une fonction continue sur un intervalle
où
F est une primitive de f c'est-à-dire que F' = f
L'ensemble
des primitives d'une fonction est noté:
Formules
des dérivées employées dans cette question
Formules des primitives
employées dans cette question
Formules de trigonométrie
employées dans cette question
A
télécharger:
format Microsoft Word compressé au format .zip
Le formulaire des dérivées
dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines,
trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes
et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations
avec les fonctions.
Le formulaire des primitives
primitives des fonctions de base et de la composées de ces fonctions,
opérations avec les fonctions - formules de l'intégration par parties - intégration
par changement de variable.
Le formulaire de
trigonométrie
formules fondamentales - formules d'addition - formules de duplication (angle
double) - formules de Carnot - formules de Simpson - formules de factorisation
- transformation de a.cos(x)+b.sin(x)+c
Les
fiches de cours en rapport avec cette question:
Dérivée
d'une fonction
(référence : F4)
définition, interprétation géométrique, applications (tangente
au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction,
étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction)
Limite d'une fonction en
un réel ou en l'infini
(référence F11)
Limite en un réel: cas d'une fraction dont le numérateur s'annule et pas
le numérateur, cas 0/0 dans le cas d'une fraction de polynômes et dans le
cas d'une fraction avec des racines carrées. Limite en l'infini: opérations
avec l'infini, limite en l'infini d'un polynôme, d'une fraction de polynômes,
d'une fraction contenant des racines carrées, cas "infini - infini"
avec des racines carrées. Règle de l'Hospital: conditions et conseils d'application,
astuces pour transformer un cas "0.infini" ou "infini - infini"
afin d'appliquer l'Hospital. Exemples détaillés de tous ces cas.
Maîtriser le calcul intégral
pas à pas
(référence F13)
Intégration immédiate, formules et leurs utilisations, comment transformer
astucieusement une expression afin de l'intégrer, intégration par parties,
intégration par substitution, liste de substitutions utiles, quelles formules
employer pour intégrer les fonctions trigonométriques, intégration des fractions
de polynômes, décomposition en fractions simples, calcul des intégrales
définies, les méthodes sont accompagnées de conseils pour aider à choisir
celle qui convient le mieux et illustrées par 47 exemples résolus en détail
et commentés - dossier de 29 pages
