Enoncé:

Soit

une fonction dérivable telle que f '(x) < 0 pour tout x dans ]a,b[ et telle que

Démontrer que que f(x) ne s'annule jamais sur ]a,b[.

Résolution

Appelons g la prolongée par continuité de f en a, c'est-à-dire:

Supposons qu'il existe c dans ]a,b[ tel que f(c) = 0.

Nous avons donc f(c) = g(c) = 0.

Les hypothèses du théorème de Rolle sont vérifiées pour la fonction g dans l'intervalle ]a,c[ car g est continue dans [a,c] (elle est continue en a par définition et continue dans ]a,c[ car dérivable dans ]a,c[ ) et dérivable dans ]a,c[ et g(a) = g(c).

D'après le théorème de Rolle, il existe d dans ]a,c[ tel que g '(d) = 0, donc tel que f ' (d) = 0, ce qui est contraire aux données sur la fonction f. Il est donc impossible que f s'annule dans ]a,b[.

Rappels de cours concernant cette question:

Enoncé

Si f est une fonction continue dans [a,b], dérivable dans ]a,b[ et telle que f(a) =  f(b) alors

Illustration

Interprétation géométrique

Lorsque les hypothèses du théorème sont satisfaites, il existe c dans ]a,b[ tel que la tangente au point d’abscisse c de la courbe est parallèle à l’axe des abscisses. Il s’agit d’un cas particulier du théorème précédent.

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q48)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Dérivée d'une fonction 
(référence : F4) 
définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction)

Théorème des accroissements finis ou de Lagrange et théorème de Rolle
(référence F25)
Enoncés des deux théorèmes, illustration graphique et interprétation géométrique

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