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Examen d'admission Université Catholique de Louvain  (Belgique)- Analyse – Question 1 (Juillet 1998 - série 1)

Enoncé:

a) Calculez la limite suivante:
b) Calculez la dérivée suivante:
c) Calculez:
d) Calculez:
e) Calculez:

Résolution:

a)

Si nous remplaçons x par a nous obtenons le cas:

première méthode: nous utilisons la règle de l'Hospital:

deuxième méthode: nous factorisons le numérateur au moyen de la division par x-a. Nous pouvons calculer le quotient par la méthode de Horner:

Le quotient est donc:

Nous pouvons écrire:

b)

c)

Posons:

Utilisons maintenant la formule de Carnot:

Appliquons les propriétés des intégrales indéfinies:

Il reste à exprimer la réponse en fonction de x.

Tenant compte de la formule de trigonométrie:

On a d'une part:

Et d'autre part:

Conclusion:

d)

Posons:

Il reste à exprimer la réponse en fonction de x:

On peut encore transformer la réponse:

e)

Calculons d'abord l'intégrale indéfinie:

Nous procédons par parties en posant:

Appliquons la formule d'intégration par parties:

On obtient une nouvelle intégrale indéfinie que nous calculons également par une intégration par parties en posant:

Nous avons donc:

Et par conséquent:

Calculons maintenant l'intégrale définie:

Rappels de cours concernant cette question:

 Calcul de la limite d'une fraction en un réel a

Si f(x) est une fraction dont le numérateur s'annule pour x = a, mais pas le dénominateur, les limites de f à gauche et à droite en a sont infinies. On détermine le signe en étudiant le signe de la fonction.

Si f(x) est une fraction dont le numérateur et le dénominateur s'annulent tous deux pour x = a, on lève l'indétermination en utilisant le théorème de l'Hospital. Dans le cas d'une fraction de polynômes, on peut aussi diviser le numérateur et le dénominateur par x-a puis calculer la limite en a de la fraction simplifiée obtenue.

Théorème de l'Hospital

(énoncé simplifié)

dans les cas:

ou

:


Division d'un polynôme par x - a (calcul du quotient par la méthode de Horner

La méthode de Horner est une disposition pratique permettant d'obtenir le quotient et le reste très rapidement.

Nous allons l'expliquer avec

et le diviseur

Nous construisons le tableau suivant:

La première ligne contient les coefficient de P(x) écrits dans l'ordre des puissances décroissantes de x (tous les coefficients doivent être inscrits, même les coefficients nuls). Sur la seconde ligne nous inscrivons la valeur de a dans le diviseur x-a.

Abaissons d'abord le premier coefficient de P(x) dans la troisième ligne:

Celui-ci est multiplié par a et inscrit dans la deuxième ligne en-dessous du deuxième coefficient de P(x) et additionné à celui-ci. On inscrit le résultat dans la troisième ligne:

On recommence ces étapes avec ce nouveau résultat (le coefficient est multiplié par a et inscrit sous le troisième coefficient de P(x) puis additionné à celui-ci):

Et ainsi de suite jusqu'à ce que la grille soit remplie:

La dernière ligne donne les coefficients du quotient et le reste.

 Intégration par substitution

Pour calculer

on peut poser:

avec

 

Intégration par parties

Intégrale définie d'une fonction continue sur un intervalle

où F est une primitive de f c'est-à-dire que F' = f

L'ensemble des primitives d'une fonction est noté:

 Formules des dérivées employées dans cette question

   

 Formules des primitives employées dans cette question

 
 

 Formules de trigonométrie employées dans cette question

 

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q45)

Le formulaire des dérivées
dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions.

Le formulaire des primitives
primitives des fonctions de base  et de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions - formules de l'intégration par parties - intégration par changement de variable.

Le formulaire de trigonométrie
formules fondamentales - formules d'addition - formules de duplication (angle double) - formules de Carnot - formules de Simpson - formules de factorisation - transformation de a.cos(x)+b.sin(x)+c

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Intégrale définie d'une fonction continue sur un intervalle
(référence : F3) 
définition, calcul, propriétés, interprétation géométrique, applications (calcul d'une aire plane, d'un volume de révolution)

Dérivée d'une fonction 
(référence : F4) 
définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction)

Limite d'une fonction en un réel ou en l'infini
(référence F11)
Limite en un réel: cas d'une fraction dont le numérateur s'annule et pas le numérateur, cas 0/0 dans le cas d'une fraction de polynômes et dans le cas d'une fraction avec des racines carrées. Limite en l'infini: opérations avec l'infini, limite en l'infini d'un polynôme, d'une fraction de polynômes, d'une fraction contenant des racines carrées, cas "infini - infini" avec des racines carrées. Règle de l'Hospital: conditions et conseils d'application, astuces pour transformer un cas "0.infini" ou "infini - infini" afin d'appliquer l'Hospital. Exemples détaillés de tous ces cas.

Maîtriser le calcul intégral pas à pas
(référence F13)
Intégration immédiate, formules et leurs utilisations, comment transformer astucieusement une expression afin de l'intégrer, intégration par parties, intégration par substitution, liste de substitutions utiles, quelles formules employer pour intégrer les fonctions trigonométriques, intégration des fractions de polynômes, décomposition en fractions simples, calcul des intégrales définies, les méthodes sont accompagnées de conseils pour aider à choisir celle qui convient le mieux et illustrées par 47 exemples résolus en détail et commentés - dossier de 29 pages

Division euclidienne des polynômes
(référence F14)
Définition - description détaillée sur un exemple de la méthode de calcul du quotient et du reste de la division euclidienne d'un polynôme par un polynôme - cas particulier de la division par x - a : loi du reste, divisibilité, méthode de Hörner

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