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Deux cyclistes participent à une course de la ville A à la ville B. Le premier roule plus vite que le second. La différence de leurs vitesses (que l'on supposera constantes tout le long du trajet) est de 5 km/h. Le second coureur met alors 5 heures de plus que le premier pour atteindre B.
Si maintenant les deux coureurs augmentent leurs vitesses, le premier de 4km/h, le second de 3km/h, le second arrivera 4h 10 min après le premier.
Déterminez la vitesse initiale du premier coureur et la distance entre les deux villes.
Pour la résolution, expliquez bien votre raisonnement.
Mettez le problème en équation d'abord puis résolvez-le. Une réponse chiffrée
seule ne suffit pas.
Choix des inconnues
Soit v la vitesse du premier coureur en km/h et d la distance en km entre les deux villes.
Mise en équation
Puisque le premier roule plus vite que le second et que la différence de leurs vitesses est de 5 km/h, la vitesse du second est v-5.
Le temps mis par le premier coureur est d/v et comme le second met 5 heures de plus que le premier, le temps mis par le deuxième est:
La distance parcourue par les deux coureurs est la même, c'est le produit de la vitesse par le temps:
Si le premier augmente sa vitesse de 4 km/h, elle sera donnée par v+4, et si le second augmente sa vitesse de 3km/h, sa vitesse sera donnée par v-5+3 = v-2.
Le temps mis alors par le premier coureur est:
et donc le temps mis par le deuxième coureur est :
(nous avons transformé le temps 4h 10 min en fraction d'heure)
Exprimons maintenant que la distance est le produit de la vitesse par le temps:
Résolution
Il s'agit donc de résoudre le système:
Afin de faire disparaître les dénominateurs, multiplions les deux membres de la première équation par v, et les deux membres de la deuxième équation par 6(v+4):
Effectuons les produits et réduisons les termes semblables:
Isolons d dans la première équation et remplaçons d par l'expression obtenue dans la deuxième équation:
Réduisons la deuxième équation, qui ne contient plus que l'inconnue v et résolvons cette équation du second degré:
Calculons le réalisant de cette équation:
Les solutions de l'équation sont:
Nous obtenons deux solutions dont l'une doit être rejetée. Il s'agit de la deuxième, qui donnerait une vitesse négative pour le second coureur.
Il reste à calculer d. Nous remplaçons v par sa valeur dans la première équation du système:
Réponse au problème:
La vitesse du premier coureur était de 20 km/h et la distance entre les villes de 300 km.
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Formules du mouvement rectiligne uniforme |
Un mobile est animé d'un mouvement rectiligne uniforme lorsque sa vitesse est constante tout au long du trajet en ligne droite.
La vitesse est le rapport entre l'espace parcouru (en m) et le temps de parcours (en s).
Si v désigne la vitesse, e l'espace parcouru et t le temps de parcours, on a donc la formule:
Le temps de parcours est donc:
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Méthode de résolution d'une équation fractionnaire |
Ecrire les conditions d’existence.
Réduire les fractions au même dénominateur.
Multiplier les deux membres par ce dénominateur commun (application du principe de multiplication) ce qui revient à supprimer ce dénominateur commun.(Remarquons que cette opération modifie le domaine de l’équation et donc que l’équation obtenue contient peut-être des solutions étrangères)
Résoudre l’équation obtenue.
Sélectionner les solutions qui vérifient les conditions
d’existence.
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Méthode de substitution |
La méthode de substitution pour résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues consiste à isoler l'une des inconnues dans l'une des équations et à remplacer cette inconnue par l'expression obtenue dans l'autre équation. Cette nouvelle équation ne contient alors plus qu'une inconnue et peut donc être résolue par la méthode adéquate.
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Résolution dans l'ensemble des réels de l'équation du second degré |
Pour résoudre l'équation :
calculer son réalisant :
- si r > 0 , l'équation admet deux solutions :
- si r = 0 , l'équation admet une seule solution (ou deux solutions identiques):
- si r < 0 , l'équation n'admet pas de solution
A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette question résolue
(référence : Q44)Les fiches de cours en rapport avec cette question:
La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produitRésolution d'un système de 2 équations du 1er degré
(référence F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométriqueLes équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation: règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.
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Cours de soutien scolaire
KeepSchool
Soutien
scolaire du CP à la Terminale, 12 matières, cours de langues, de
bureautique, de gestion/finance en ligne.
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