Détermination d'un paramètre dans une équation du second degré

Examen d'admission Université Catholique de Louvain (Belgique)- Algèbre – Question 3 (Septembre 1998)

Enoncé:

Pour quelles valeurs de k, paramètre réel, l'équation que voici:

possède deux racines réelles distinctes, strictement supérieures à -1?

Résolution:

1) L'équation possède deux racines réelles distinctes, donc son réalisant doit être strictement positif:

Nous obtenons une inéquation du second degré en k. Nous devons donc étudier le signe de l'expression figurant dans le membre de gauche et pour cela calculer ses racines:

Conclusion: la condition pour que l'équation admette deux racines réelles réelles est:

2) les deux racines doivent être strictement supérieures à -1:

Pour que cette condition soit réalisée, il suffit que la plus petite de ces deux racines soit strictement supérieure à -1, donc il ne reste qu'une seule condition:

Simplifions la racine carrée:

Nous pouvons ainsi simplifier la fraction par 2:

Il s'agit d'une inéquation irrationnelle, dont le domaine est la solution de la première condition. Isolons le radical:

Si nous élevons chaque membre au carré, nous obtenons une inéquation équivalente, à condition que les deux membres soient strictement positifs. Envisageons donc les 2 cas:

1er cas:

Le membre de gauche est strictement positif et le membre de droite est négatif ou nul. L'inéquation n'a donc pas de solution pour ces valeurs de k.

2ème cas:

Elevons chaque membre au carré:

La solution de cette inéquation irrationnelle est donc (en tenant compte du domaine):

Cette condition est la réponse à la question posée.

Remarque: on peut résoudre la condition 2 d'une autre manière, en utilisant la règle du signe d'une expression du second degré.

Posons:

Rappelons la règle du signe de l'expression du second degré lorsque celle-ci admet 2 racines distinctes:

Puisque les 2 racines sont strictement supérieures à -1, f(-1) a le même signe que a c'est-à-dire:

Cette condition seule ne suffit pas, elle exprime seulement que -1 se trouve à l'extérieur des racines.

Remarquons que:

et que ce nombre se trouve entre les deux racines. Si nous ajoutons la condition:

nous exprimons que -1 se trouve à l'extérieur des racines, et inférieur à celles-ci:

En rassemblant ces deux conditions, nous obtenons:

En combinant ce résultat avec la première condition, nous obtenons la même conclusion:

Rappels de cours concernant cette question:

Racines et signe de l'expression du second degré

Considérons l'expression du second degré:

Calculer le réalisant :

1^er cas:

Les racines sont :

et le tableau de signe :

2^ème cas:

Le trinôme n'admet qu'une seule racine :

et le tableau de signe :

3^ème cas:

Le trinôme n’admet pas de racine et le trinôme est du signe de a pour toutes les valeurs de x.

Résolution d'une inéquation irrationnelle

Une inéquation irrationnelle est une inéquation dans laquelle l'inconnue apparaît sous un singe radical.

Nous utilisons la propriété suivante (principe d'équivalence):

Autrement dit, nous obtenons une inéquation équivalente en élevant les deux membres au carré, à condition que les deux membres soient strictement positifs.

Voici donc comment procéder:

1) Rechercher le domaine de l'inéquation.

2) Isoler le radical dans l'un des membres de l'inéquation.

3) Etudier le signe de l'autre membre.

4) Partager le domaine en deux parties:
- dans la partie du domaine où les deux membres sont strictement positifs, en élevant ceux-ci au carré, on obtient une inéquation rationnelle équivalente à l'inéquation initiale. Résoudre cette inéquation en ne gardant que les solutions qui appartiennent à cette partie du domaine.
- dans l'autre partie du domaine, on obtient une inéquation impossible ou indéterminée. Dans cette partie du domaine, l'ensemble des solutions est donc soit l'ensemble vide, soit cette partie du domaine.

5) L'ensemble des solutions de l'inéquation initiale est la réunion des deux ensembles ci-dessus.

Principes d'équivalence des inéquations

Principe d'addition

Lorsqu’on ajoute un même nombre aux deux membres d’une inéquation, on obtient une inéquation équivalente de même sens.

Principe de multiplication

Lorsqu’on multiplie par un même nombre strictement positif les deux membres d’une inéquation, on obtient une inéquation équivalente de même sens.

Lorsqu’on multiplie par un même nombre strictement négatif les deux membres d’une inéquation, on obtient une inéquation équivalente de sens contraire.

A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q43)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Recherche du domaine de définition d'une fonction
(référence F7)
définition, lecture du domaine de définition sur un graphique, méthode de recherche du domaine de définition d'une fonction donnée par son expression analytique, liste des conditions d'existence d'une expression.

Racines carrées d'un nombre réel
(référence F8)
définition du symbole racine carrée positive, condition d'existence, propriétés, résolution de l'équation x² = a, simplification des radicaux, comment chasser un radical du dénominateur d'une fraction, exemples d'applications.

Comment étudier le signe d'une expression?
(référence F10)
Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas.

Les inéquations
(référence : F18)
Principes d'équivalence des inégalités - les inéquations du premier degré - les inéquations rationnelles - les inéquations irrationnelles. Illustrations par des exemples détaillés.

Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation: règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

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