Résolution d'un système de deux équations non linéaires à 2 inconnues avec un paramètre

Examen d'admission Université Catholique de Louvain (Belgique)- Algèbre – Question 2 (Septembre 1998)

Enoncé:

Soit m un paramètre réel. Discuter et résoudre, dans les nombres réels, le système d'équations que voici:

Résolution:

Recherchons d'abord le domaine du système. Les conditions d'existence sont:

Réduisons chaque équation au même dénominateur:

Multiplions chaque membre de chacune de ces équations par son dénominateur commun afin de faire disparaître celui-ci:

Ecrivons chaque équation sous la forme ax+by=c:

Nous obtenons un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues avec un paramètre. Nous allons le résoudre en utilisant la méthode des déterminants.

Le déterminant du système est:

1er cas:

Calcul de x:

Calcul de y:

Ces valeurs de x et y doivent vérifier les conditions d'existence:

Cette condition est toujours vérifiée.

Cette condition n'est vérifiée que si m est différent de 0. Elle doit donc être rejetée dans le cas où m = 0.

Cette condition est toujours vérifiée dans le cas que nous étudions.

Cette condition n'est vérifiée que si m est différent de -1/3. Elle doit donc être rejetée dans le cas où m = -1/3.

2ème cas:

Le système devient:

Les deux équations étant équivalentes, le système est simplement indéterminé.

Les solutions sont donc les couples de la forme (x,1-x) qui vérifient les conditions d'existence c'est-à-dire:

L'ensemble des solutions est:

Le système devient:

Ce système est impossible et n'admet donc pas de solution.

Synthèse de la discussion et solution du système

Si		alors
Si		alors
Si		alors

Rappels de cours concernant cette question:

Méthode de résolution d'une équation fractionnaire

Ecrire les conditions d’existence.

Réduire les fractions au même dénominateur.

Multiplier les deux membres par ce dénominateur commun (application du principe de multiplication) ce qui revient à supprimer ce dénominateur commun.(Remarquons que cette opération modifie le domaine de l’équation et donc que l’équation obtenue contient peut-être des solutions étrangères)

Résoudre l’équation obtenue.

Sélectionner les solutions qui vérifient les conditions d’existence.

Résolution d'un système linéaire de n équations à n inconnues en utilisant les déterminants

La méthode des déterminants est particulièrement efficace pour résoudre des systèmes linéaires de n équations à n inconnues avec coefficients paramétriques mais peut aussi bien sûr s'utiliser dans le cas de coefficients numériques.

La méthode décrite ci-dessous résout un système de 3 équations linéaires à 3 inconnues mais peut se généraliser pour un système de n équations linéaires à n inconnues.

Considérons le système suivant:

Calculer de déterminant D du système:

1er cas:

Calculer N_x, le déterminant obtenu en remplaçant dans le déterminant du système la 1ère colonne par celle des termes indépendants:

Calculer de façon similaire N_y et N_z:

Le système admet une solution unique, le triplet:

2ème cas:

Dans ce cas, le système est impossible ou indéterminé. Le résoudre par les méthodes classiques de substitution ou d'addition.

Calcul du déterminant d'une matrice 2x2

A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q42)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Résolution d'un système de 2 équations du 1er degré
(référence F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométrique

Calcul du déterminant d'une matrice
(référence F19)
Déterminant 2x2 (définition) - Déterminant 3x3 (mineur et cofacteur d'un élément d'une matrice - définition du déterminant - propriété permettant de faciliter le calcul d'un déterminant - illustration par des exemples

Résolution d'un système linéaire n x n par la méthode des déterminants
(référence F20)

Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation: règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

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