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Examen d'admission Université
Catholique de Louvain (Belgique)- Algèbre – Question 2 (Septembre 1998)
Enoncé:
Soit m un paramètre réel. Discuter et résoudre, dans les nombres réels, le
système d'équations que voici:
Résolution:
Recherchons d'abord le domaine du système. Les conditions d'existence sont:
Réduisons chaque équation au même dénominateur:
Multiplions chaque membre de chacune de ces équations par son
dénominateur commun afin de faire disparaître celui-ci:
Ecrivons chaque équation sous la forme ax+by=c:
Nous obtenons un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues avec un paramètre.
Nous allons le résoudre en utilisant la méthode des déterminants.
Le déterminant du système est:
| 1er cas: |
|
Calcul de x:
Calcul de y:
Ces valeurs de x et y doivent vérifier les conditions d'existence:
Cette condition est toujours vérifiée.
Cette condition n'est vérifiée que si m est différent de 0. Elle doit donc
être rejetée dans le cas où m = 0.
Cette condition est toujours vérifiée dans le cas que nous étudions.
Cette condition n'est vérifiée que si m est différent de -1/3. Elle doit donc
être rejetée dans le cas où m = -1/3.
| 2ème cas: |
|
Le système devient:
Les deux équations étant équivalentes, le système est simplement indéterminé.
Les solutions sont donc les couples de la forme (x,1-x) qui vérifient les conditions
d'existence c'est-à-dire:
L'ensemble des solutions est:
Le système devient:
Ce système est impossible et n'admet donc pas de solution.
Synthèse de la discussion et solution du système
| Si |
|
alors |
|
| Si |
|
alors |
|
| Si |
|
alors |
|
Rappels de cours concernant cette question:
 |
Méthode
de résolution d'une équation fractionnaire |
Ecrire les conditions d’existence.
Réduire les fractions au même dénominateur.
Multiplier les deux membres par ce dénominateur commun
(application du principe de multiplication) ce qui revient à supprimer ce
dénominateur commun.(Remarquons que cette opération modifie le domaine de
l’équation et donc que l’équation obtenue contient peut-être des solutions
étrangères)
Résoudre l’équation obtenue.
Sélectionner les solutions qui vérifient les conditions
d’existence.
|
|
Résolution
d'un système linéaire de n équations à n inconnues en utilisant les déterminants |
La méthode des déterminants est particulièrement efficace pour résoudre des
systèmes linéaires de n équations à n inconnues avec coefficients paramétriques
mais peut aussi bien sûr s'utiliser dans le cas de coefficients numériques.
La méthode décrite ci-dessous résout un système de 3 équations linéaires à
3 inconnues mais peut se généraliser pour un système de n équations linéaires
à n inconnues.
Considérons le système suivant:
Calculer de déterminant D du système:
| 1er cas: |
|
Calculer Nx, le déterminant obtenu en remplaçant dans le déterminant
du système la 1ère colonne par celle des termes indépendants:
Calculer de façon similaire Ny et Nz:
Le système admet une solution unique, le triplet:
| 2ème cas: |
|
Dans ce cas, le système est impossible ou indéterminé. Le résoudre par les
méthodes classiques de substitution ou d'addition.
|
|
Calcul
du déterminant d'une matrice 2x2 |
A
télécharger:
format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette
question résolue
(référence : Q42)
Les
fiches de cours en rapport avec cette question:
Résolution d'un système de 2 équations du
1er degré
(référence
F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométrique
Calcul du déterminant d'une matrice
(référence F19)
Déterminant 2x2 (définition) - Déterminant 3x3 (mineur et cofacteur d'un
élément d'une matrice - définition du déterminant - propriété permettant de
faciliter le calcul d'un déterminant - illustration par des exemples
Résolution d'un système linéaire n x n par la
méthode des déterminants
(référence F20)
Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les
équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:
règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes
d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les
équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.
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