Examen d'admission Université Catholique de Louvain  (Belgique)- Algèbre – Question 1 (Septembre 1998)

Enoncé:

Résoudre, dans les nombres réels, l'équation suivante:

Résolution:

Recherchons d'abord le domaine de l'équation. 

Condition d'existence:

Réalisons le tableau de signes de l'expression. Ses racines sont -3 et 0.

Nous concluons que le domaine de l'équation est:

En observant cette équation, nous observons que l'expression

intervient deux fois. Nous allons donc utiliser l'inconnue auxiliaire

De cette façon, l'équation obtenue ne contiendra plus de radicaux. Elle devient:

Multiplions les deux membres de l'équation par t afin d'obtenir un polynôme:

Nous observons que si nous remplaçons t par 1, la valeur du polynôme est 0, ce qui signifie que ce polynôme est divisible par t-1. Calculons le quotient par la méthode de Horner:

Le quotient est donc:

L'équation factorisée obtenue est:

Résolvons l'équation du second degré. Pour cela calculons le réalisant:

Les solutions sont:

Revenons maintenant à l'inconnue initiale x:

Puisque les deux membres sont strictement positifs, nous pouvons les élever au carré:

Nous obtenons une équation du second degré dont nous calculons le réalisant:

et les solutions:

Ces deux valeurs sont dans le domaine de l'équation et en sont donc des solutions.

Procédons comme ci-dessus:

Ces deux valeurs sont dans le domaine de l'équation et en sont donc des solutions.

Le symbole radical désignant un nombre positif, cette équation n'admet pas de solution.

Conclusion: l'ensemble des solutions de l'équation est:

Racine carrée positive d'un nombre réel

désigne le réel positif dont le carré vaut x. Il n'a de sens que si x est positif ou nul.

Racines et signe de l'expression du second degré

Considérons l'expression du second degré:

Calculer le réalisant : 

1er cas:

Les racines sont :
   

et le tableau de signe : 

2ème cas:

Le trinôme n'admet qu'une seule racine : 

et  le tableau de signe :

3ème cas:

Le trinôme n’admet pas de racine et le trinôme est du signe de a pour toutes les valeurs de x.

Division d'un polynôme par x - a

Condition de divisibilité d'un polynôme par x - a

Calcul du quotient et du reste par la méthode de Horner

La méthode de Horner est une disposition pratique permettant d'obtenir le quotient et le reste très rapidement.

Nous allons l'expliquer avec

et le diviseur

Nous construisons le tableau suivant:

La première ligne contient les coefficient de P(x) écrits dans l'ordre des puissances décroissantes de x (tous les coefficients doivent être inscrits, même les coefficients nuls). Sur la seconde ligne nous inscrivons la valeur de a dans le diviseur x-a.

Abaissons d'abord le premier coefficient de P(x) dans la troisième ligne:

Celui-ci est multiplié par a et inscrit dans la deuxième ligne en-dessous du deuxième coefficient de P(x) et additionné à celui-ci. On inscrit le résultat dans la troisième ligne:

On recommence ces étapes avec ce nouveau résultat (le coefficient est multiplié par a et inscrit sous le troisième coefficient de P(x) puis additionné à celui-ci):

Et ainsi de suite jusqu'à ce que la grille soit remplie:

La dernière ligne donne les coefficients du quotient et le reste.

Règle du produit nul

Résolution d'une équation irrationnelle

Une équation irrationnelle est une équation dont l'inconnue apparaît sous un signe radical.

Pour éliminer les radicaux, on élève les deux membres au carré (à cet effet, il est souvent utile d'isoler le radical dans un membre).

On utilise ainsi le principe d'équivalence:

Il faut donc exprimer la condition pour que les deux membres aient le même signe. La marche à suivre est la suivante:

	Rechercher le domaine de l’équation.
	Isoler le radical dans un membre.
	Rechercher la condition pour que les deux membres aient le même signe. (rappel : désigne le nombre positif dont le carré est a)
	Elever les deux membres au carré.
	Si l’équation obtenue contient encore un radical, isoler celui-ci dans un membre et renouveler le procédé.
	Lorsque l’équation ne contient plus de radical, résoudre l’équation obtenue.
	Rejeter les solutions ne faisant pas partie du domaine et celles qui ne vérifient pas les conditions.

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q41)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Recherche du domaine de définition d'une fonction
(référence F7)
définition, lecture du domaine de définition sur un graphique, méthode de recherche du domaine de définition d'une fonction donnée par son expression analytique, liste des conditions d'existence d'une expression.

Racines carrées d'un nombre réel
(référence F8)
définition du symbole racine carrée positive, condition d'existence, propriétés, résolution de l'équation x² = a, simplification des radicaux, comment chasser un radical du dénominateur d'une fraction, exemples d'applications.

Comment étudier le signe d'une expression?
(référence F10)
Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas.

Division euclidienne des polynômes
(référence F14)
Définition - description détaillée sur un exemple de la méthode de calcul du quotient et du reste de la division euclidienne d'un polynôme par un polynôme - cas particulier de la division par x - a : loi du reste, divisibilité, méthode de Hörner

Les inéquations 
(référence : F18) 
Principes d'équivalence des inégalités - les inéquations du premier degré - les inéquations rationnelles - les inéquations irrationnelles. Illustrations par des exemples détaillés.

Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:  règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

 

 

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