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Deux groupes de touristes quittent une ville A pour
une ville B distante de d km. Le premier groupe part à pied. Au même moment,
le second groupe de personnes part en autocar jusqu'à une certaine distance
x du point de départ, où l'autocar les dépose. Ces personnes continuent à pied
vers la ville B. Pendant ce temps-là, l'autocar revient chercher (suivant le
même parcours) le premier groupe, l'embarque au point où celui-ci est arrivé
et le mène à destination. Les deux troupes arrivent en même temps à la ville
B.
On demande de calculer le temps total t nécessaire aux touristes pour faire
le trajet de A à B, sachant que:
1) la vitesse à pied des touristes est constante et vaut v km/h
2) la vitesse du car est constante et vaut u km/h
3) on néglige (on considère nuls) les temps de chargement, de déchargement et
de manœuvre du car.
Pour la résolution, expliquez bien votre raisonnement.
Mettez le problème en équation. Calculez t en fonction de v, u et d. Appliquez
ENSUITE au cas où d = 20 km, v = 5 km/h et u = 60 km/h.
Choix des inconnues
Nous avons x la distance parcourue par le second groupe au moment où l'autocar
les dépose.
Appelons y la distance parcourue par le premier groupe lorsque l'autocar revient
les chercher.
Mise en équation
Au moment où le premier groupe prend l'autocar, le temps écoulé depuis le
départ est y/v.
Pendant ce temps, l'autocar a parcouru une distance 2x-y à une vitesse de u
km/h: ce temps est donc (2x-y)/u.
On a donc une première équation:
Le temps total mis par le premier groupe pour arriver en B est la somme du temps mis par ce groupe pour parcourir la distance y à pied et du temps mis par ce groupe pour parcourir la distance restante d-y en autocar:
Le temps total mis par le deuxième groupe pour arriver en A est la somme du temps mis par ce groupe pour parcourir la distance x en autocar et du temps mis par ce groupe pour parcourir la distance restante d-x à pied:
Puisque les deux groupes arrivent au même moment, on obtient l'équation:
Résolution
Il s'agit donc de résoudre le système:
Multiplions les deux membres de chaque équation par u.v afin de faire disparaître les dénominateurs:
Isolons x dans la première équation:
Remplaçons x par cette expression dans la deuxième équation:
Multiplions des deux membres de la deuxième équation afin de faire disparaître les dénominateurs:
Dans cette deuxième équation, rassemblons les termes en y dans le premier membre:
Mettons en évidence les facteurs communs dans chaque membre:
Divisons les deux membres par le coefficient de y (en supposant que celui-ci est non nul, nous y reviendrons après):
On peut se demander s'il y a moyen de simplifier y. On observe
que si on remplace u par v dans le dénominateur, celui-ci s'annule. Cela signifie
que:
- le dénominateur se divise par u - v (voir la loi du reste)
- u doit être différent de v pour effectuer cette division. Cette condition
est évidemment satisfaite étant donné que la vitesse des piétons n'est pas la
même que celle de l'autocar.
Effectuons donc la division euclidienne du dénominateur par u - v:
Nous obtenons donc:
Nous pouvons ici confirmer que y est défini pour toute valeur
de u et v puisque le dénominateur u+3v est non nul étant donné que u et v sont
des nombres strictement positifs.
Remplaçons y dans la première équation par son expression:
Réponse à la question posée:
Le temps total pour faire le trajet complet a été exprimé plus haut. Il suffit
d'y remplacer y par sa valeur:
Le temps total est donc:
Application numérique:
Les données sont: d = 20 km, v = 5km/h, u = 60 km/h
Le temps total est alors:
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Formules du mouvement rectiligne uniforme |
Un mobile est animé d'un mouvement rectiligne uniforme lorsque sa vitesse est constante tout au long du trajet en ligne droite.
La vitesse est le rapport entre l'espace parcouru (en m) et le temps de parcours (en s).
Si v désigne la vitesse, e l'espace parcouru et t le temps de parcours, on a donc la formule:
Le temps de parcours est donc:
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Division d'un polynôme par x - a |
Condition de divisibilité d'un polynôme par x - a
A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette question résolue
(référence : Q40)Les fiches de cours en rapport avec cette question:
Résolution d'un système de 2 équations du 1er degré
(référence F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométriqueDivision euclidienne des polynômes
(référence F14)
Définition - description détaillée sur un exemple de la méthode de calcul du quotient et du reste de la division euclidienne d'un polynôme par un polynôme - cas particulier de la division par x - a : loi du reste, divisibilité, méthode de HörnerLes équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation: règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.
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