Paul fait une promenade de A vers B. Après chaque heure de marche, il se repose
pendant un quart d'heure. Il marche à 4 km/h pendant la première étape, à 5
km/h pendant la deuxième étape, à 6 km/h pendant la troisième étape et ainsi
de suite.
Pierre roule à bicyclette de A vers B, mais il part une demi-heure après Paul.
On demande :
1. la vitesse minimale à laquelle Pierre doit rouler pour pouvoir rattraper
Paul?
2. la distance que Pierre aura parcourue lorsqu'il rattrape Paul, s'il roule
à 18 km/h?
3. la vitesse moyenne et le temps nécessaire pour que Pierre rattrape Paul
au moment où celui-ci commence sa deuxième période de repos.
Indication: représenter les données de ce problème dans un système d'axes (T,S)
avec T le temps et S le chemin parcouru.
1. Considérons le système d'axes (T,S) où T est le temps écoulé depuis le départ
de Paul et S la distance parcourue depuis le point A.
Représentons le mouvement du piéton. Puisque durant chaque étape, la vitesse
est constante, ce mouvement est représenté par un segment de droite dont la
vitesse est le coefficient directeur.
mouvement du piéton en rouge
mouvement du cycliste en vert
La vitesse du cycliste Pierre étant constante, la représentation de son mouvement
est également une droite. Celle-ci passe par le point C(0.5;0) puisqu'il part
une demi-heure après le piéton. Si on donne à la vitesse des valeurs différentes,
le coefficient directeur (la pente) de la droite varie.
Faisons "pivoter" la droite autour du point C en partant de la position
horizontale (vitesse nulle), jusqu'à ce que cette droite rencontre la représentation
du mouvement du piéton. On observe que cela se produit au début de la troisième
étape, soit au point de coordonnée (2.5;9). La vitesse du cycliste est donc
:
NB: la représentation doit être très précise.
2. Représentons le mouvement de Pierre et de Paul sur le même graphique. Nous
constatons que Pierre rattrape Paul pendant la première étape.
mouvement du piéton en rouge
mouvement du cycliste en bleu
L'équation du mouvement de Paul est alors :
L'équation du mouvement de Pierre est :
Résolvons le système formé par les deux équations:
La distance que Pierre aura parcourue est donc:
3. Lorsque Paul commence sa deuxième période de repos, il a parcouru 9 km et
le temps écoulé depuis le départ est de 2.25 h.
La vitesse de Pierre devra alors être :
Le temps nécessaire est de 1.75 h c'est-à-dire 1 h 45 min.
 |
Equation du mouvement
rectiligne uniforme
|
Un mobile est animé d'un mouvement rectiligne uniforme lorsque sa vitesse est
constante tout au long du trajet en ligne droite.
La vitesse est le rapport entre l'espace parcouru (en m) et le temps de parcours
(en s).
Donc, si v désigne la vitesse du mobile, e0 désigne l'espace parcouru
au temps t0, et e l'espace parcouru au temps t, on a:
L'espace parcouru en fonction du temps se représente donc par
une droite de coefficient directeur v (la pente) et passant par le point (t0,e0).
|
|
Equation d'une droite
de coefficient directeur donné k et passant par un point donné A(xA,yA)
|
Le coefficient directeur k se nomme aussi pente de la droite car
sa valeur détermine l'inclinaison de la droite par rapport aux axes de coordonnée.
à télécharger:
format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette question résolue
(référence : Q4)
Les fiches de cours en rapport avec cette question:
Equations des droites dans
le plan
(référence F5)
équation réduite, équation générale, tracer une droite, droite passant par
un point et de coefficient directeur donné, droite passant par 2 points,
interprétation géométrique du coefficient directeur, condition de parallélisme,
condition de perpendicularité, angle que forme une droite avec l'axe des
abscisses, exemples illustrant ces notions.
Résolution d'un système de
2 équations du 1er degré
(référence F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométrique.
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