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Résoudre et discuter dans R l'inéquation:
où a est un paramètre réel.
Condition d'existence:
Les valeurs de x qui vérifient cette inéquation dépendent du signe de a.
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La condition d'existence est alors:
Dans ce cas, les deux membres de l'inéquation sont positifs, et nous obtenons une inéquation équivalente en élevant les deux membres au carré:
Nous obtenons une inéquation du second degré, recherchons les racines du trinôme afin d'étudier son signe:
Les racines du trinôme sont:
et
Le signe du trinôme:
A la lecture du tableau, et en tenant compte des conditions d'existence l'ensemble des solutions de l'inéquation est:
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En remplaçant a par 0 dans l'inéquation, elle se réduit alors à celle-ci:
Et l'ensemble des solutions est donc:
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La condition d'existence sur x est:
Le premier membre de l'inéquation est alors strictement négatif, tandis que le second est positif ou nul. Cette inéquation est donc impossible et
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Résolution d'une inéquation irrationnelle |
Une inéquation irrationnelle est une inéquation dans laquelle l'inconnue apparaît sous un singe radical.
Nous utilisons la propriété suivante (principe d'équivalence):
Autrement dit, nous obtenons une inéquation équivalente en élevant les deux membres au carré, à condition que les deux membres soient strictement positifs.
Voici donc comment procéder:
1) Rechercher le domaine de l'inéquation.
2) Isoler le radical dans l'un des membres de l'inéquation.
3) Etudier le signe de l'autre membre.
4) Partager le domaine en deux parties:
- dans la partie du domaine où les deux membres sont strictement positifs, en
élevant ceux-ci au carré, on obtient une inéquation rationnelle équivalente
à l'inéquation initiale. Résoudre cette inéquation en ne gardant que les solutions
qui appartiennent à cette partie du domaine.
- dans l'autre partie du domaine, on obtient une inéquation impossible ou indéterminée.
Dans cette partie du domaine, l'ensemble des solutions est donc soit l'ensemble
vide, soit cette partie du domaine.
5) L'ensemble des solutions de l'inéquation initiale est la réunion des deux ensembles ci-dessus.
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Racines et signe de l'expression du second degré |
Considérons l'expression du second degré:
Calculer le réalisant :
| 1er cas: |  |
Les racines sont :
et le tableau de signe :
| 2ème cas: |  |
Le trinôme n'admet qu'une seule racine :
et le tableau de signe :
| 3ème cas: |  |
Le trinôme n’admet pas de racine et le trinôme est du signe de a pour toutes les valeurs de x.
A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette question résolue
(référence : Q39)Les fiches de cours en rapport avec cette question:
La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produitRacines carrées d'un nombre réel
(référence F8)
définition du symbole racine carrée positive, condition d'existence, propriétés, résolution de l'équation x2 = a, simplification des radicaux, comment chasser un radical du dénominateur d'une fraction, exemples d'applications.Comment étudier le signe d'une expression?
(référence F10)
Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas.Les inéquations
(référence : F18)
Principes d'équivalence des inégalités - les inéquations du premier degré - les inéquations rationnelles - les inéquations irrationnelles. Illustrations par des exemples détaillés.
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Cours de soutien scolaire
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Soutien
scolaire du CP à la Terminale, 12 matières, cours de langues, de
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