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Examen d'admission Université
Catholique de Louvain (Belgique)- Algèbre – Question 3 (Juillet 1998 -
série 2)
Enoncé:
Résoudre et discuter dans R l'inéquation:
où a est un paramètre réel.
Résolution
Condition d'existence:
Les valeurs de x qui vérifient cette inéquation dépendent du signe de a.
| 1er cas:
|
|
|
La condition d'existence est alors:
Dans ce cas, les deux membres de l'inéquation sont positifs, et nous obtenons
une inéquation équivalente en élevant les deux membres au carré:
Nous obtenons une inéquation du second degré, recherchons les racines du trinôme
afin d'étudier son signe:
Les racines du trinôme sont:
et
Le signe du trinôme:
A la lecture du tableau, et en tenant compte des conditions d'existence l'ensemble
des solutions de l'inéquation est:
| 2ème cas:
|
|
|
En remplaçant a par 0 dans l'inéquation, elle se réduit alors à celle-ci:
Et l'ensemble des solutions est donc:
| 3ème cas:
|
|
|
La condition d'existence sur x est:
Le premier membre de l'inéquation est alors strictement négatif, tandis que
le second est positif ou nul. Cette inéquation est donc impossible et
Rappels de cours concernant cette question:
 |
Résolution d'une inéquation
irrationnelle |
Une inéquation irrationnelle est une inéquation dans laquelle l'inconnue apparaît
sous un singe radical.
Nous utilisons la propriété suivante (principe d'équivalence):
Autrement dit, nous obtenons une inéquation équivalente en
élevant les deux membres au carré, à condition que les deux membres soient strictement
positifs.
Voici donc comment procéder:
1) Rechercher le domaine de l'inéquation.
2) Isoler le radical dans l'un des membres de l'inéquation.
3) Etudier le signe de l'autre membre.
4) Partager le domaine en deux parties:
- dans la partie du domaine où les deux membres sont strictement positifs, en
élevant ceux-ci au carré, on obtient une inéquation rationnelle équivalente
à l'inéquation initiale. Résoudre cette inéquation en ne gardant que les solutions
qui appartiennent à cette partie du domaine.
- dans l'autre partie du domaine, on obtient une inéquation impossible ou indéterminée.
Dans cette partie du domaine, l'ensemble des solutions est donc soit l'ensemble
vide, soit cette partie du domaine.
5) L'ensemble des solutions de l'inéquation initiale est la réunion
des deux ensembles ci-dessus.
|
|
Racines
et signe de l'expression du second degré |
Considérons l'expression du second degré:
Calculer le réalisant :
| 1er cas: |
 |
Les racines sont :
et le tableau de signe :
| 2ème cas: |
 |
Le trinôme n'admet qu'une seule racine :
et le tableau de signe :
| 3ème cas: |
 |
Le trinôme n’admet pas de racine et le trinôme est du signe de a pour toutes
les valeurs de x.
A
télécharger:
format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette
question résolue
(référence : Q39)
Les
fiches de cours en rapport avec cette question:
La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines,
factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines,
détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit
Racines carrées d'un nombre
réel
(référence F8)
définition du symbole racine carrée positive, condition d'existence, propriétés,
résolution de l'équation x2 = a, simplification des radicaux,
comment chasser un radical du dénominateur d'une fraction, exemples d'applications.
Comment étudier le signe d'une
expression?
(référence F10)
Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du
second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme
ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle).
Exemples détaillés de tous ces cas.
Les inéquations
(référence : F18)
Principes d'équivalence des inégalités - les inéquations du premier degré
- les inéquations rationnelles - les inéquations irrationnelles. Illustrations
par des exemples détaillés.
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