Examen d'admission Université Catholique de Louvain  (Belgique)- Algèbre – Question 2 (Juillet 1998 - série 2)

Enoncé:

Résoudre dans les nombres complexes, l'équation suivante (où i est l'unité imaginaire):

Résolution

Conditions d'existence:

Réduisons les termes de l'équation au même dénominateur puis multiplions les deux membres par celui-ci:

Effectuons:

Puisque:

On obtient:

Groupons les termes afin de dégager des facteurs communs:

Appliquons la règle du produit nul:

Pour résoudre la deuxième équation, nous posons z=a+bi. Celle-ci devient donc:

On en déduit:

Puisque b est un réel, on obtient:

Puisque ab = 1, ces deux nombres ont le même signe et les deux solutions de l'équation:

sont donc:

Et l'ensemble des solutions de l'équation initiale est (elle satisfont toutes aux conditions d'existence):

Un nombre complexe est un nombre sous la forme a+bi où a et b sont des nombres réels et i , l'unité imaginaire telle que

a est sa partie réelle et b sa partie imaginaire.

Méthode de résolution d'une équation fractionnaire

Ecrire les conditions d’existence.

Réduire les fractions au même dénominateur.

Multiplier les deux membres par ce dénominateur commun (application du principe de multiplication) ce qui revient à supprimer ce dénominateur commun.(Remarquons que cette opération modifie le domaine de l’équation et donc que l’équation obtenue contient peut-être des solutions étrangères)

Résoudre l’équation obtenue.

Sélectionner les solutions qui vérifient les conditions d’existence.
 

Règle du produit nul

Calcul des racines carrées d'un nombre complexe

Rechercher les racines carrées du complexe a+bi revient à rechercher les réels x et y tels que

Il suffit donc de résoudre ce système en x et y, sans perdre de vue que x et y sont des réels.

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q38)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Résolution d'un système de 2 équations du 1er degré
(référence F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométrique

Les nombres complexes
(référence F17)
Définition d'un nombre complexe, complexe conjugué - égalité de deux nombres complexes - résolution de l'équation du second degré dans les complexes - calcul des racines carrées d'un nombre complexe - représentation géométrique et forme trigonométrique - propriétés (produit, quotient, puissances, formule de Moivre) - racines n^èmes d'un nombre complexe

Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:  règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

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