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Examen d'admission Université
Catholique de Louvain (Belgique)- Algèbre – Question 2 (Juillet 1998 -
série 2)
Enoncé:
Résoudre dans les nombres complexes, l'équation suivante
(où i est l'unité imaginaire):
Résolution
Conditions d'existence:
Réduisons les termes de l'équation au même dénominateur puis multiplions les
deux membres par celui-ci:
Effectuons:
Puisque:
On obtient:
Groupons les termes afin de dégager des facteurs communs:
Appliquons la règle du produit nul:
Pour résoudre la deuxième équation, nous posons z=a+bi. Celle-ci devient donc:
On en déduit:
Puisque b est un réel, on obtient:
Puisque ab = 1, ces deux nombres ont le même signe et les deux solutions de
l'équation:
sont donc:
Et l'ensemble des solutions de l'équation initiale est (elle satisfont toutes
aux conditions d'existence):
Rappels de cours concernant cette question:
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Nombre
complexe |
Un nombre complexe est un nombre sous la forme a+bi où a et b sont des nombres
réels et i , l'unité imaginaire telle que
a est sa partie réelle et b sa partie imaginaire.
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Méthode
de résolution d'une équation fractionnaire |
Ecrire les conditions d’existence.
Réduire les fractions au même dénominateur.
Multiplier les deux membres par ce dénominateur commun
(application du principe de multiplication) ce qui revient à supprimer ce
dénominateur commun.(Remarquons que cette opération modifie le domaine de
l’équation et donc que l’équation obtenue contient peut-être des solutions
étrangères)
Résoudre l’équation obtenue.
Sélectionner les solutions qui vérifient les conditions
d’existence.
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Règle
du produit nul |
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Calcul
des racines carrées d'un nombre complexe |
Rechercher les racines carrées du complexe a+bi revient à
rechercher les réels x et y tels que
Il suffit donc de résoudre ce système en x et y, sans perdre de
vue que x et y sont des réels.
A
télécharger:
format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette
question résolue
(référence : Q38)
Les
fiches de cours en rapport avec cette question:
Résolution d'un système de 2 équations du
1er degré
(référence
F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométrique
Les nombres complexes
(référence F17)
Définition d'un nombre complexe, complexe conjugué - égalité de deux
nombres complexes - résolution de l'équation du second degré dans les complexes
- calcul des racines carrées d'un nombre complexe - représentation géométrique
et forme trigonométrique - propriétés (produit, quotient, puissances, formule de
Moivre) - racines nèmes d'un nombre complexe
Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les
équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:
règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes
d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les
équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.
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