Examen d'admission Université Catholique de Louvain  (Belgique)- Algèbre – Question 1 (Juillet 1998 - série 2)

Enoncé:

On considère l'équation suivante, dans laquelle m est un paramètre réel:

Déterminer l'ensemble des valeurs de m pour lesquelles notre équation possède deux racines réelles distinctes telles que la plus grande (de ces racines) soit supérieure ou égale à deux fois la plus petite.

Résolution

Puisque l'équation possède deux racines distinctes, son réalisant est strictement positif:

Réalisons le tableau du signe de ce réalisant et pour cela recherchons d'abord ses racines:

Tableau du signe du réalisant:

A la lecture du tableau, nous pouvons conclure que l'équation admet 2 racines réelles distinctes lorsque:

Les deux racines de l'équation sont alors:

La première de ces racines est la plus petite et la seconde la plus grande.

La condition: "la plus grande de ces racines est supérieure ou égale à deux fois la plus petite" s'écrit:

Afin de faire disparaître les dénominateurs, multiplions les deux membres de l'inégalité par 2:

Ramenons les termes contenant les radicaux dans le premier membre et les autres termes dans l'autre membre:

Pour poursuivre la résolution de cette inéquation, nous devons envisager les cas d'après le signe du second membre:

1er cas:

 (nous combinons cette condition avec celle déjà établie plus haut)

Dans ce cas, nous obtenons une inéquation équivalente en élevant chaque membre au carré:

Réalisons le tableau de signe du premier membre de l'inéquation obtenue:

A la lecture du tableau et dans le cas que nous étudions, l'inéquation est vérifiée si

2ème cas:

 Dans ce cas, le premier membre de l'inéquation étant strictement positif, et le second membre strictement négatif, l'inéquation est vérifiée pour toutes ces valeurs de m.

Réponse à la question posée: les valeurs de m qui satisfont à la condition sont:

Racines et signe de l'expression du second degré

Considérons l'expression du second degré:

Calculer le réalisant : 

1er cas:

Les racines sont :
   

et le tableau de signe : 

2ème cas:

Le trinôme n'admet qu'une seule racine : 

et  le tableau de signe :

3ème cas:

Le trinôme n’admet pas de racine et le trinôme est du signe de a pour toutes les valeurs de x.

Résolution d'une inéquation irrationnelle

Une inéquation irrationnelle est une inéquation dans laquelle l'inconnue apparaît sous un singe radical.

Nous utilisons la propriété suivante (principe d'équivalence):

Autrement dit, nous obtenons une inéquation équivalente en élevant les deux membres au carré, à condition que les deux membres soient strictement positifs.

Voici donc comment procéder:

1) Rechercher le domaine de l'inéquation.

2) Isoler le radical dans l'un des membres de l'inéquation.

3) Etudier le signe de l'autre membre.

4) Partager le domaine en deux parties:
- dans la partie du domaine où les deux membres sont strictement positifs, en élevant ceux-ci au carré, on obtient une inéquation rationnelle équivalente à l'inéquation initiale. Résoudre cette inéquation en ne gardant que les solutions qui appartiennent à cette partie du domaine.
- dans l'autre partie du domaine, on obtient une inéquation impossible ou indéterminée. Dans cette partie du domaine, l'ensemble des solutions est donc soit l'ensemble vide, soit cette partie du domaine.

5) L'ensemble des solutions de l'inéquation initiale est la réunion des deux ensembles ci-dessus.

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q37)

Le formulaire des identités remarquables
identités remarquables (formules de factorisation, carrés, cubes...) ainsi que la formule du binôme de Newton, le triangle de Pascal et les explications pour construire celui-ci.

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Racines carrées d'un nombre réel
(référence F8)
définition du symbole racine carrée positive, condition d'existence, propriétés, résolution de l'équation x² = a, simplification des radicaux, comment chasser un radical du dénominateur d'une fraction, exemples d'applications.

Comment étudier le signe d'une expression?
(référence F10)
Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas.

Les inéquations 
(référence : F18) 
Principes d'équivalence des inégalités - les inéquations du premier degré - les inéquations rationnelles - les inéquations irrationnelles. Illustrations par des exemples détaillés.

Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:  règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

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